11.4 一般圓錐曲線、坐標旋轉與分類

標準形式以外的選讀拓展

本節為選讀內容。我們把拋物線、橢圓、雙曲線的標準方程統一到一個計算框架， 也包括實解集為一點、若干直線或空集的方程。目的是在坐標軸未必沿曲線主軸時， 仍能從方程辨認幾何形狀。

焦點準線條件解釋了二次方程的來源。設焦點為 $(p,q)$，真正準線為 $ux+vy+w=0$， 離心率為 $e\gt0$，其中 $u^2+v^2\gt0$ 且焦點不在準線上。條件為

$$\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2} =e\frac{|ux+vy+w|}{\sqrt{u^2+v^2}}.$$

兩邊非負，故平方可逆，再乘以 $u^2+v^2$ 就得到二次方程。 但逆向問題須謹慎：任意二次方程未必描述非退化的焦點準線圓錐曲線。 即使二次部分不變，低次項仍可改變實軌跡。

定義

實二次軌跡

對實系數寫

$$f(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F.$$

實軌跡是所有滿足 $f(x,y)=0$ 的點的集合。二次部分為 $Ax^2+Bxy+Cy^2$， 其判別式為 $\Delta=B^2-4AC$。討論邊界情形時也允許 $A=B=C=0$， 儘管此時方程的次數至多為一。

全式乘以非零常數不改變軌跡。坐標旋轉與平移也保持距離及角度； 它們改變同一集合的描述，不改變幾何類型。先旋轉消去混合項， 再平移，便能看清哪些常數項與一次項仍決定形狀。

旋轉坐標軸

將坐標軸逆時針旋轉 $\theta$，記 $c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$， 新坐標為 $(X,Y)$。新坐標單位向量在原坐標中分別為 $(c,s)$ 與 $(-s,c)$。 同一點的兩組坐標因此滿足

$$x=cX-sY,\qquad y=sX+cY; \qquad X=cx+sy,\qquad Y=-sx+cy.$$

利用 $c^2+s^2=1$ 代入即可驗證逆公式。必須分清變換方向： 旋轉坐標軸與主動旋轉一個點，是兩種不同的描述，混淆它們容易弄錯符號。

定理

消去混合項與旋轉不變量

代入後新方程的系數為

$$\begin{aligned} A'&=Ac^2+Bcs+Cs^2, & C'&=As^2-Bcs+Cc^2,\\ B'&=B\cos2\theta-(A-C)\sin2\theta,\\ D'&=Dc+Es, & E'&=-Ds+Ec,\qquad F'=F. \end{aligned}$$

總能選擇實角使 $B'=0$，且有

$$A'+C'=A+C,\qquad B'^2-4A'C'=B^2-4AC.$$

證明: 先找出要消去的系數，再選擇角度

目標是消去 $XY$，並非一次項。展開 $Ax^2$、$Bxy$ 與 $Cy^2$， 混合項系數合計為 $-2Acs+B(c^2-s^2)+2Ccs$，即上述 $B'$。 若 $B=0$，取 $\theta=0$。若 $B\ne0$ 且 $A=C$，取 $\theta=\pi/4$。 其餘情形選擇滿足 $\tan2\theta=B/(A-C)$ 的角，令 $2\theta$ 位於 $-\pi/2$ 與 $\pi/2$ 之間。其餘弦非零，乘回餘弦便可驗證 $B'=0$。 這樣的分情況避免在 $A=C$ 時除以零。

把 $A'$、$C'$ 的公式相加，混合貢獻抵消，即得跡的不變性。 相減則得 $A'-C'=(A-C)\cos2\theta+B\sin2\theta$。 將此式與 $B'$ 分別平方再相加，交叉乘積抵消，故

$$B'^2+(A'-C')^2=B^2+(A-C)^2.$$

再減去已經證明不變的平方 $(A'+C')^2=(A+C)^2$，即得判別式恆等式。 這說明任意旋轉都保持判別式，當然也包括用於消去混合項的旋轉。

之後的平移不改變二次系數，因為展開平移後的平方只新增一次項和常數項。 因此 $\Delta$ 也在平移下不變。這些不變量屬於選定的多項式方程； 若全式乘以標量 $r$，跡會乘以 $r$，判別式會乘以 $r^2$。 所以非零倍縮放仍保持判別式的符號。

θ = 0°

$5X^2 + 6XY + 5Y^2 = 8$

固定橢圓為 $5x^2+6xy+5y^2=8$。虛線軸表示新的 $X,Y$ 方向。代入 $x=X\cos\theta-Y\sin\theta$ 與 $y=X\sin\theta+Y\cos\theta$。當角度為 $45^\circ$，混合項係數消失，同一橢圓的方程變為 $8X^2+2Y^2=8$。改變的是座標，而非軌跡。

配方並保留全部情形

旋轉之後重新命名系數，寫成

$$\alpha X^2+\gamma Y^2+dX+eY+f=0.$$

此處的小寫 $e$ 是一次項系數，不是引入定義時的離心率。 二次部分的秩指消去混合項後 $\alpha,\gamma$ 中非零系數的個數。 只有三種可能，普通配方即可完成分類，無須一般矩陣理論。

定理

旋轉後實軌跡的完整分類

若二次部分的秩為二，令 $h=-d/(2\alpha)$、$k=-e/(2\gamma)$，以及 $m=d^2/(4\alpha)+e^2/(4\gamma)-f$。平移為 $U=X-h$、$V=Y-k$ 後有

$$\alpha U^2+\gamma V^2=m.$$

若 $\alpha,\gamma$ 同號，必要時全式乘以 $-1$，使兩者都為正，並同時改變 $m$ 的符號。 此時 $m\gt0$ 為橢圓，$m=0$ 為一個點，$m\lt0$ 為空集。 若兩系數異號，則 $m\ne0$ 為雙曲線，$m=0$ 為兩條相交直線。

若秩為一，必要時交換坐標角色，使 $\alpha\ne0$、$\gamma=0$。 只對已有的二次項配方，得

$$\alpha U^2+eY+g=0,\qquad U=X+\frac{d}{2\alpha},\qquad g=f-\frac{d^2}{4\alpha}.$$

若 $e\ne0$，軌跡為拋物線。若 $e=0$，令 $r=-g/\alpha$； $r\gt0$ 時為兩條平行直線，$r=0$ 時為一條重直線，$r\lt0$ 時無實點。

若秩為零，方程為 $dX+eY+f=0$。當 $(d,e)\ne(0,0)$ 時為直線， 當 $d=e=f=0$ 時為整個平面，其餘情形為空集。

同號情形的依據是正系數平方和總非負，且僅在兩個變量都為零時為零。 $m$ 為正時，除以 $m$ 得半軸長 $\sqrt{m/\alpha}$、$\sqrt{m/\gamma}$。 異號情形經過必要的交換或全式變號，可寫為 $\alpha U^2-\beta V^2=m$， 其中 $\alpha,\beta\gt0$。右側非零時可化為兩種朝向之一的標準雙曲線； 右側為零時分解成 $(\sqrt\alpha U-\sqrt\beta V)(\sqrt\alpha U+\sqrt\beta V)=0$， 得到兩條不同的相交直線。

秩一且 $e\ne0$ 時，令 $V=Y+g/e$，便有 $\alpha U^2=-eV$， 其拋物線系數非零，開口由 $-e/\alpha$ 的符號決定。 由於不存在 $Y^2$ 項，不能把 $eY$ 吸收到關於 $Y$ 的平方中。 若 $e=0$，每個允許的 $U$ 值都讓 $Y$ 自由變化，所以每個實根給出整條直線。 重直線在幾何上只是一條線，但在多項式中對應重複因子。 秩零的結論則來自求解真正的一次方程，或直接判斷常數等式。

反例模式

判別式為正並不能排除相交直線

方程 $x^2-y^2=0$ 的判別式為 $\Delta=4\gt0$，卻能分解為 $(x-y)(x+y)=0$，軌跡是 $y=x$ 與 $y=-x$ 的並集，並非非退化雙曲線。 只改變常數項得到 $x^2-y^2=1$，才是具有相同判別式的雙曲線。

正確的說法是：正判別式表示二次部分不定號，配方後仍須檢查剩餘常數是否為零。 同樣，負判別式容許橢圓、單點或空集；零判別式則須繼續檢查保留的一次項與秩。

圓要求 $A=C\ne0$ 且 $B=0$。上述證明中的恆等式表明， 旋轉後對角系數相等且混合項為零，會迫使原來的 $B^2+(A-C)^2=0$。 此時全式除以 $A$ 並配方，圓心為 $(-D/(2A),-E/(2A))$，且

$$R^2=\frac{D^2+E^2}{4A^2}-\frac FA.$$

只有 $R^2\gt0$ 才給出真正的圓；等於零時僅剩圓心，小於零時無實點。 二次系數相等本身並不能保證半徑為正。

分類例題

例題

例 1：旋轉並平移的橢圓

分類下列方程，並確定其軸：

$$5x^2-4xy+8y^2+4\sqrt5x-16\sqrt5y+4=0.$$

此處 $\Delta=-144$，二次部分定號。取 $c=2/\sqrt5$、$s=1/\sqrt5$， 滿足 $\tan2\theta=4/3$。代入 $x=(2X-Y)/\sqrt5$、$y=(X+2Y)/\sqrt5$，得

$$4X^2+9Y^2-8X-36Y+4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4(X-1)^2+9(Y-2)^2=36.$$

右側為正，現在才確認是實橢圓。旋轉坐標中的中心為 $(1,2)$， 換回原坐標是 $(0,\sqrt5)$。沿 $(2,1)/\sqrt5$ 的半軸長為 $3$， 沿 $(-1,2)/\sqrt5$ 的半軸長為 $2$。 畫圖時先標中心，再沿這兩個單位方向分別加減相應長度，得到四個軸端點。 單憑判別式並不能求出中心或軸長。

例題

例 2：一次項區分拋物線與平行直線

考慮 $x^2+2xy+y^2-2x+2y=0$。雖然 $\Delta=0$，也不能丟棄一次部分。 取 $\theta=\pi/4$，則 $x+y=\sqrt2X$、$-2x+2y=2\sqrt2Y$， 方程變成 $2X^2+2\sqrt2Y=0$，是沿負 $Y$ 方向開口的拋物線。

對比 $x^2+2xy+y^2-2=0$，同一旋轉給出 $X^2=1$， 即兩條平行直線 $x+y=\pm\sqrt2$。 把 $-2$ 換為 $0$ 得重直線 $x+y=0$；換為 $2$ 則得空集。 四個方程的二次部分相同，軌跡之所以不同，必須由剩餘項判斷。

例題

例 3：相同定號二次部分的三種結果

方程 $x^2+y^2-2x+4y+c=0$ 總有 $\Delta=-4$。 配方得 $(x-1)^2+(y+2)^2=5-c$。 $c=1$ 時為圓心 $(1,-2)$、半徑 $2$ 的圓；$c=5$ 時僅有點 $(1,-2)$； $c=6$ 時為空集。相同的中心計算在三種情況下都有用， 但右側為負時，不能通過取實平方根來指定半徑。

二次部分的矩陣觀點

概念視角代數

對稱矩陣記錄同一個二次表達式

定義列向量 $z=(x,y)^T$、$Z=(X,Y)^T$，以及

$$Q=\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix},\qquad O=\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}.$$

則 $z^TQz=Ax^2+Bxy+Cy^2$：兩個非對角乘積各貢獻混合項的一半。 坐標變換是 $z=OZ$，且 $O^TO=OO^T=I$。代入得

$$z^TQz=Z^T(O^TQO)Z,\qquad Q'=O^TQO, \qquad Q=OQ'O^T.$$

最後一個等式由左乘 $O$、右乘 $O^T$ 得到。 矩陣乘法有次序要求；這兩個公式表示互逆的變換，不能任意交換排列。 選擇使 $B'=0$ 的角，就使 $Q'$ 成為對角矩陣。 這正是前面已用三角函數證明的旋轉過程的矩陣描述。

跡是對角元素之和 $A+C$，行列式為 $AC-B^2/4=-\Delta/4$。 由於 $\det O=1$，對 $Q'=O^TQO$ 取行列式可知行列式不變； 跡不變已經由系數計算證明。因此矩陣只是把同樣的兩個不變量整合起來。 一次部分須另行變換為 $(D,E)OZ$，故單靠二次部分的矩陣不能判斷所有實軌跡。 這裡不需要調用一般的對角化定理。

切線要求接觸點為正則點

定理

二次軌跡在正則點處的切線公式

設 $P=(x_0,y_0)$ 滿足 $f(P)=0$，且

$$\nabla f(P)=(2Ax_0+By_0+D,\ Bx_0+2Cy_0+E)\ne(0,0).$$

則切線為 $\nabla f(P)\cdot(x-x_0,y-y_0)=0$，等價地為

$$Ax_0x+\frac B2(x_0y+y_0x)+Cy_0y +\frac D2(x+x_0)+\frac E2(y+y_0)+F=0.$$

沿正則局部參數表示對 $f(x(t),y(t))=0$ 求導， 鏈式法則在接觸點給出 $\nabla f(P)\cdot(x'(t),y'(t))=0$。 非零梯度提供真正的法方向。若其第二分量非零，可用隱函數求導寫局部圖像 $y=y(x)$； 若只有第一分量非零，則改用 $x=x(y)$。因此竪直切線無須除以零。

展開點法式，利用 $f(P)=0$ 改寫常數項，再除以二，就得對稱公式。 兩個假設都不可省略：軌跡外的點不存在該處切線，奇異點的梯度方程則變為 $0=0$。 例如 $x^2-y^2=0$ 的原點有兩條交叉分支，上式不能為它們選出唯一的切線方向。

快速檢查

思考檢查

檢查 1：對角系數相等怎麼辦？

若 $A=C$，如何不除以 $A-C$ 而消去混合項？

解答 · 檢查 1 的答案

若 $B=0$，取 $\theta=0$；否則取 $\theta=\pi/4$， 此時 $B'=B\cos(\pi/2)=0$，不需要使用正切商式。

思考檢查

檢查 2：零判別式是否足夠？

分類 $x^2-1=0$ 與 $y-1=0$。為甚麼兩者都可以有 $\Delta=0$？

解答 · 檢查 2 的答案

前者是兩條平行直線 $x=\pm1$，秩為一；後者是直線 $y=1$，秩為零。 零判別式只記錄二次部分奇異，並未指定其秩或一次項。

練習

1. 用 $\theta=\pi/4$ 旋轉 $xy=1$，確定所得標準形式。 若改為 $xy=0$，結果怎樣變化？
2. 分類 $x^2+4y^2-2x+16y+17=0$ 與 $x^2+4y^2-2x+16y+18=0$。
3. 求 $x^2+4y^2=4$ 在 $(0,1)$ 與 $(2,0)$ 處的切線。 解釋為甚麼第二條切線仍被定理涵蓋。
4. 分類秩零方程 $2x-y+3=0$、$0=0$、$1=0$，並指出哪個具有非零梯度。

引導解答

解答 · 解答 1

代入得 $xy=(X^2-Y^2)/2$，故 $xy=1$ 變為 $X^2/2-Y^2/2=1$， 是半軸長均為 $\sqrt2$ 的雙曲線。對 $xy=0$ 則得到 $X^2-Y^2=0$， 即兩條相交直線，在原坐標中就是兩條坐標軸。

解答 · 解答 2

兩式左側分別化為 $(x-1)^2+4(y+2)^2$ 與 $(x-1)^2+4(y+2)^2+1$。 因此前者的軌跡是單點 $(1,-2)$，後者為空集。 兩者均有 $\Delta=-16$，只說明二次部分定號，不能斷言為非退化橢圓。

解答 · 解答 3

梯度為 $(2x,8y)$，在 $(0,1)$ 處為 $(0,8)$，在 $(2,0)$ 處為 $(4,0)$。 切線分別是 $y=1$ 與 $x=2$。兩條法向量都非零； 點法式直接涵蓋竪直直線，不必把它寫成以 $x$ 為自變量的 $y$ 的圖像。

解答 · 解答 4

軌跡依次為直線、整個平面、空集。只有第一個多項式具有非零梯度 $(2,-1)$。 恆零多項式不施加任何限制；常數多項式 $1$ 沒有零點，因而沒有接觸點可討論切線。