10.2 參數曲線與向量函數

運動的點比路徑本身包含更多資訊

方程 $x^2+y^2=R^2$ 描述一個點集，卻沒有說明運動從哪裏開始、朝哪個方向 進行，或移動得多快。參數化通過為每個參數值指定一個點，補充這些資訊。 若參數表示時間，同一條幾何路徑便可以對應不同的運動。

首先要求連續性，使點的位置不會隨參數變化而突然跳躍。可微性是另一個條件， 當我們要求瞬時速度時才需要它。連續曲線不一定可微。把定義與後來的附加條件 分開，才能保留任意連續函數圖像這類合法的連續曲線。

曲線、分量與軌跡

定義

參數曲線與軌跡

設 $I$ 是區間，$n$ 為正整數。$\mathbb R^n$ 中的參數曲線是連續函數

$$\gamma:I\longrightarrow\mathbb R^n,\qquad \gamma(t)=(x_1(t),\ldots,x_n(t)).$$

函數 $x_i$ 是座標分量。軌跡或像集是

$$\gamma(I)=\{\gamma(t):t\in I\}.$$

因此 $\gamma$ 是指定參數化的函數，$\gamma(I)$ 則是它經過的點的集合。

參數區間是定義的一部分。限制區間可能縮小軌跡，也可能只減少重複經過而不 改變軌跡。即使輸出有多個座標，參數仍是一個實數。向量函數是這個向量值函數 的另一名稱，並非互不相關的幾個純量運動。

定理

連續性可以逐分量檢查

$\gamma:I\to\mathbb R^n$ 在 $t_0\in I$ 連續，當且僅當每個分量 $x_i$ 都在那裏連續。端點處的極限從區間內部取。

任意向量 $\mathbf z=(z_1,\ldots,z_n)$ 的歐幾里得範數滿足

$$|z_i|\le\|\mathbf z\|\le\sqrt n\max_{1\le j\le n}|z_j|.$$

第一條來自 $z_i^2$ 是範數平方中的一個非負項。第二條則因為每個座標平方 都不超過最大絕對座標的平方，共有 $n$ 項。將它們用於 $\gamma(t)-\gamma(t_0)$：若範數趨於零，每個座標差也趨於零；反過來， 有限多個座標差趨於零，會使其最大值趨於零，因此範數也趨於零。這就證明了 兩個方向，而不是直接假設向量極限可以逐座標處理。

例題

消去參數時保留區間限制

設 $\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$，$\gamma(t)=(t,2t)$。各分量連續，且

$$\gamma(0)=(0,0),\qquad \gamma(1)=(1,2).$$

因為 $x=t$、$y=2t$，消去參數得到 $y=2x$。但 $t\in[0,1]$ 同時要求 $0\le x\le1$，所以軌跡是連接上述端點的線段，而非整條直線。反過來， 每個滿足 $0\le x\le1$ 的點 $(x,2x)$ 都可取 $t=x$ 得到，因此描述完整。 參數增加時，點由 $(0,0)$ 移向 $(1,2)$。

概念視角結構

參數化與像集回答不同問題

函數 $\gamma$ 回答「這個參數值對應哪裏」，像集則回答「哪些點至少出現一次」。 只保留像集，會丟失經過次序、時間安排與經過次數。在線段例題中，$y=2x$ 連同區間描述像集，而兩個分量公式還規定怎樣沿線段移動。要確定參數曲線， 應記錄映射與定義域，不能只留下消去參數後的座標方程。

閉曲線與簡單曲線

定義

閉區間上的閉合性與簡單性

設 $\gamma:[a,b]\to\mathbb R^n$，其中 $a\lt b$。若 $\gamma(a)=\gamma(b)$，稱曲線閉合。若

$$\gamma(t_1)\ne\gamma(t_2) \qquad a\le t_1\lt t_2\le b,$$

僅允許 $t_1=a$、$t_2=b$ 這一對的像相同，則稱曲線簡單。 簡單閉曲線同時滿足兩個條件。

按此約定，端點不同的簡單曲線是單射；簡單閉曲線則只允許首尾這唯一一對 參數對應同一點。這個例外允許完整繞行一周，而不把首尾相接看作自交， 但不允許任何內部點被重複經過。定義討論的是選定的參數化，不只是軌跡的外觀。

例如沿圓繞兩周，與繞一周有相同的圓形軌跡，但繞兩周的參數曲線不簡單。 閉合性只說終點等於起點，並沒有限制中間發生甚麼。非退化閉區間上的常值曲線 閉合但不簡單，因為許多不同的內部參數都有相同像。

指定方向的圓周運動

例題

逆時針完整繞行一周

對 $R>0$，定義

$$\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t),\qquad 0\le t\le2\pi.$$

由 $\cos^2t+\sin^2t=1$，軌跡位於 $x^2+y^2=R^2$。反過來，圓上 每個點都有落在此區間內的極角，所以所有點都會經過。起點與終點都是 $(R,0)$，曲線閉合。

若兩個參數給出相同座標，它們的正弦與餘弦都相同，因此參數差是 $2\pi$ 的整數倍。在此區間中，唯一可能的相異參數對是 $0,2\pi$。故按端點例外 的約定，曲線簡單。從 $(R,0)$ 出發時它先進入上半平面；參數就是遞增的 極角，因此運動方向是逆時針。

改變圓心，可得一般圓的參數化：

$$\gamma(t)=(h+R\cos t,k+R\sin t),\qquad 0\le t\le2\pi,$$

其中 $h,k\in\mathbb R$、$R>0$。減去圓心座標後可知軌跡為 $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$。平移改變經過的點的位置，卻不改變經過次序 或參數區間。半徑為正排除了退化成常值曲線的情況；後者的簡單性不同。

導數、速度向量與速率

定義

向量函數的導數

在參數區間的內部點 $t_0$，若以下向量極限存在，定義

$$\gamma'(t_0)=\lim_{h\to0}\frac{\gamma(t_0+h)-\gamma(t_0)}{h},$$

若 $t$ 表示時間，$\gamma'(t)$ 是速度向量，$\|\gamma'(t)\|$ 是速率。

極限中的 $h$ 非零，並要求兩個參數都在定義域內。若需要在包含的端點處 求導，使用相應的單側導數。本節說曲線可微，是指各內部點都有導數；若提及 端點導數，則按單側理解。這樣不會在閉區間上的公式中，暗中要求定義域外的值。

分子是位移，除以參數增量得到該段的平均速度，再取極限得到瞬時速度。 速率只保留速度向量的長度，沒有正負或方向。若參數不是實際時間，這些量 表示每單位參數的變化；要把它解釋為物理速度，必須另外說明參數的意義。

定理

逐分量求導

$\gamma$ 在 $t_0$ 的導數存在，當且僅當所有分量導數存在，此時

$$\gamma'(t_0)=(x_1'(t_0),\ldots,x_n'(t_0)),\qquad \|\gamma'(t_0)\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i'(t_0))^2}.$$

證明使用連續性部分的同一組範數界限，將它們用於差商向量減去候選極限向量。 向量極限存在，會迫使每個純量差商收斂到相應分量。反過來，若所有純量差商 都收斂，向量誤差不超過最大分量誤差的 $\sqrt n$ 倍，所以也趨於零。 這裏分量個數有限很重要。速率公式隨後由歐幾里得範數定義得到。 同樣的證明也適用於端點處的單側極限。

對前面的圓，

$$\gamma'(t)=(-R\sin t,R\cos t),\qquad \|\gamma'(t)\|=R.$$

速度向量改變方向，但其範數不變。它與半徑向量 $(R\cos t,R\sin t)$ 的點積為零，故沿圓的切向。$R$ 是這個特定參數選擇下的速率，並不是圓形 點集本身固有的速率。

同一軌跡可以有不同速度

對 $\omega>0$，設

$$\xi(t)=(R\cos(\omega t),R\sin(\omega t)), \qquad 0\le t\le\frac{2\pi}{\omega}.$$

角度 $\omega t$ 從 $0$ 變到 $2\pi$，所以仍是逆時針恰好繞一周。 求導得

$$\xi'(t)=(-R\omega\sin(\omega t),R\omega\cos(\omega t)), \qquad \|\xi'(t)\|=R\omega.$$

對任意非零實數 $\omega$，改用區間 $[0,2\pi/|\omega|]$，速率便是 $R|\omega|$。負的 $\omega$ 使角度遞減，從而反轉方向。若 $\omega=0$， 得到常值映射而非完整圓周，此時上述繞行一周的區間也沒有定義。

反例模式

圓形軌跡相同不代表參數曲線相同

比較 $[0,2\pi]$ 上的 $\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t)$，與 $[0,\pi]$ 上的 $\xi(t)=(R\cos(2t),R\sin(2t))$。軌跡相同，但定義域 不同，速率分別為 $R$、$2R$。即使在共有的參數區間上，它們也不是同一 映射：$t=\pi/2$ 時分別取 $(0,R)$ 與 $(-R,0)$。因此像集相等弱於 參數曲線相等。

若第二個映射改用較大定義域 $[0,2\pi]$，便會繞兩周。此時 $\xi(0)=\xi(\pi)$ 是簡單性不允許的重複，因為 $\pi$ 是內部參數， 不是終點。定義域因此也控制繞行次數。

例題

從最高點開始的順時針單位圓

要求起點與終點都是 $(0,1)$。可取

$$\eta(t)=(\sin t,\cos t),\qquad 0\le t\le2\pi.$$

它等於 $(\cos(\pi/2-t),\sin(\pi/2-t))$，因此極角從 $\pi/2$ 開始 遞減一整周。兩個端點都是 $(0,1)$，且

$$\eta'(t)=(\cos t,-\sin t),\qquad \|\eta'(t)\|=1.$$

在最高點，初始速度 $(1,0)$ 指向右方，確認運動為順時針。若只是把通常 圓周公式的兩個座標同時取負，只會把起點移到對面，並不反轉方向；應檢查 角度怎樣變化，而非只憑一個位置判斷方向。

空間曲線：螺旋線

例題

圓周運動疊加鉛直運動

對 $R,h>0$，定義空間曲線

$$\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t,ht),\qquad t\in\mathbb R.$$

前兩個分量始終位於 $x^2+y^2=R^2$，第三分量則線性增加。這是繞鉛直軸 的螺旋線。參數增加 $2\pi$ 後，水平位置重複，但鉛直座標增加 $2\pi h$， 所以沒有回到同一點。事實上，若兩個曲線值相等，必有 $ht_1=ht_2$， 而 $h>0$ 迫使 $t_1=t_2$。

速度向量與速率為

$$\gamma'(t)=(-R\sin t,R\cos t,h),\qquad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{R^2+h^2}.$$

水平與鉛直速度分量垂直，故計算速率時平方相加。限制到任意非退化閉區間後， 端點不同且曲線簡單。前面定義的閉合性是在這類閉參數區間上討論的； 定義域 $\mathbb R$ 本身沒有可供比較的起始與結束參數。

線段與圖像也是向量函數

例題

連接兩點的完整線段

設 $A,B\in\mathbb R^n$ 的位置向量為 $\mathbf a,\mathbf b$，則

$$\gamma(t)=\mathbf a+t(\mathbf b-\mathbf a) =(1-t)\mathbf a+t\mathbf b,\qquad 0\le t\le1$$

參數化了兩點之間的線段。代入 $0,1$ 得到端點；整個區間內，兩個權重都 非負且和為一。反過來，線段上每點都具有這種權重，因此整條線段都被覆蓋。 其導數是 $\mathbf b-\mathbf a$，恆定速率為 $\|\mathbf b-\mathbf a\|$。

若 $A\ne B$，兩個參數的像相等會給出 $(t_1-t_2)(\mathbf b-\mathbf a)=\mathbf0$，從而 $t_1=t_2$。 它是端點不同的簡單曲線。若 $A=B$，則是閉合常值曲線，但在 $[0,1]$ 上 不簡單。把參數延伸到全體實數，只有在非常值情形下才會得到整條直線。

若 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 連續且 $a\lt b$，其圖像可參數化為

$$\gamma(t)=(t,f(t)),\qquad t\in[a,b].$$

連續性由分量得到。每個圖像點都在以其第一座標為參數時出現，而不同參數的 第一座標不同，所以曲線簡單且端點不同。若 $f$ 在某內部點可微，則 $\gamma'(t)=(1,f'(t))$，速率為 $\sqrt{1+(f'(t))^2}$。 沒有這個附加假設時，圖像仍是連續曲線，但不能斷言導數存在。

非常值曲線仍可能在某個參數處速度為零。例如 $[-1,1]$ 上的線段參數化 $\rho(t)=(t^3,2t^3)$，其導數是 $(3t^2,6t^2)$，在 $t=0$ 為零。 由於 $t^3$ 嚴格遞增，這個映射非常值且為單射。因此瞬間靜止本身並不表示 經過了重複點，也不表示整條曲線恆定。

快速檢查

思考檢查

把參數化換成軌跡時，會丟失甚麼資訊？

比較函數與它的像集。

解答 · 答案

軌跡丟失時間安排、方向、經過次序與重複繞行的資訊，只保留經過的點。

思考檢查

標準圓周繞一周的參數化，首尾相同卻仍然簡單嗎？

使用定義中精確的端點例外。

解答 · 答案

是。像相同的相異參數只有 $0$ 與 $2\pi$，正是允許的首尾參數對。 它既簡單又閉合。

思考檢查

某個參數處速率為零，會迫使整條曲線恆定嗎？

檢查三次線段參數化。

解答 · 答案

不會。$\rho(t)=(t^3,2t^3)$ 非常值，卻有 $\rho'(0)=\mathbf0$。

練習

1. 描述 $[0,1]$ 上 $\gamma(t)=(t,2t)$ 的準確軌跡，並求速率。
2. 設 $R>0$，將圓 $(x-h)^2+(y-k)^2=R^2$ 從 $(h+R,k)$ 開始逆時針繞一周， 給出參數化，並求該參數選擇下的速率。
3. 給出從 $(0,1)$ 開始並回到該點的順時針單位圓參數化。
4. 對 $R>0$、$\omega\ne0$ 的 $\xi(t)=(R\cos(\omega t),R\sin(\omega t))$， 指定從非負時間開始、恰好繞一周的區間，並求速率。
5. 對 $R,h>0$ 的螺旋線，求繞一周的鉛直上升量，並解釋為何不同參數不可能 給出同一點。
6. 對相異兩點 $A,B$，證明線段參數化為單射。
7. 說明 $f$ 滿足甚麼假設時 $(t,f(t))$ 是曲線；再說明速度公式需要甚麼 附加假設。

引導解答

解答 · 參考解答 1

軌跡為 $\{(x,2x):0\le x\le1\}$。導數為 $(1,2)$，速率是 $\sqrt5$。

解答 · 參考解答 2

取 $(h+R\cos t,k+R\sin t)$，其中 $0\le t\le2\pi$。 導數為 $(-R\sin t,R\cos t)$，速率是 $R$。

解答 · 參考解答 3

取 $(\sin t,\cos t)$，其中 $0\le t\le2\pi$；極角 $\pi/2-t$ 遞減，兩端的值都是 $(0,1)$。

解答 · 參考解答 4

取 $[0,2\pi/|\omega|]$。求導得到速率 $R|\omega|$。 正的 $\omega$ 對應逆時針，負的 $\omega$ 對應順時針。

解答 · 參考解答 5

上升量是 $2\pi h$。位置相等推出 $ht_1=ht_2$，除以非零的 $h$ 得 $t_1=t_2$。

解答 · 參考解答 6

將相同的曲線值相減，得 $(t_1-t_2)(\mathbf b-\mathbf a)=\mathbf0$。 $\mathbf b-\mathbf a$ 至少一個分量非零，所以乘在它前面的純量必須為零。

解答 · 參考解答 7

$f$ 在區間上連續，則兩個分量都連續。在內部點可微，就在那裏給出速度 $(1,f'(t))$；包含的端點處，導數斷言須使用相應的單側導數。