11.3 雙曲線：焦點、漸近線與切線幾何

動機：距離差與兩個分支

橢圓與雙曲線的區別在於焦點距離的關係。橢圓固定兩距離之和，雙曲線則固定兩距離之差的絕對值。絕對值不可省略：兩分支的有符號距離差相反。若沒有指定分支就去掉絕對值，會丟失一半曲線。

本節把距離描述與二次方程連繫起來，再研究切線、法線和漸近線。每次轉換都有條件：距離方程平方後須證明逆命題，除以座標可能漏掉頂點，而消去參數可能加入無法實際達到的極限點。最後的垂足問題會具體展示這一區別。

定義與焦點—準線構造

定義

雙曲線及其參數

非退化雙曲線的離心率滿足 $e\gt 1$。水平標準式為

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1, \qquad a>0,\quad b>0.$$

記

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=ae,\qquad b=a\sqrt{e^2-1},\qquad c>a.$$

中心為原點，頂點為 $(\pm a,0)$，焦點為 $F_1=(-c,0)$ 與 $F_2=(c,0)$，對應準線分別為 $x=-a/e$ 與 $x=a/e$。

先在座標 $(\bar x,\bar y)$ 中取焦點 $(k,0)$，其中 $k\gt 0$，準線為 $\bar x=0$。焦點條件為

$$\sqrt{(\bar x-k)^2+\bar y^2}=e|\bar x|.$$

兩邊非負，平方可逆。展開並配方得到

$$\bar y^2=(e^2-1)\left(\bar x+\frac{k}{e^2-1}\right)^2 -\frac{k^2e^2}{e^2-1}.$$

令

$$x=\bar x+\frac{k}{e^2-1},\quad y=\bar y,\quad a=\frac{ke}{e^2-1},\quad b=\frac{ke}{\sqrt{e^2-1}},$$

便得到標準式。原焦點變為 $(ae,0)$，準線變為 $x=a/e$；關於縱軸反射便得到另一組。原焦點與準線距離為正，所以焦點不在準線上。這裏根號內使用雙曲線的正數表達式，不能誤套橢圓的參數公式。

方程說明 $|x|\geq a$，等號只在兩個頂點成立。其餘位置的縱座標有正負兩種選擇。因此上半部不等於右分支：每個分支都有上、下兩部分，在頂點連接。

定理：焦點距離差的絕對值

定理

焦點描述與直角座標方程等價

設 $a\gt 0$、$c\gt a$、$b^2=c^2-a^2$，焦點為 $(\pm c,0)$。點屬於該雙曲線，當且僅當

$$|PF_1-PF_2|=2a.$$

右分支滿足 $PF_1-PF_2=2a$，左分支的有符號距離差為 $-2a$。

證明思路：開平方前先控制符號

先假設絕對距離差條件成立。記 $r_i=PF_i$，選取 $\sigma\in\{1,-1\}$ 使 $r_1-r_2=2a\sigma$。由平方差公式，

$$(r_1-r_2)(r_1+r_2)=4cx, \qquad r_1+r_2=2\sigma ex.$$

因此 $r_1=\sigma(a+ex)$。將此式平方，並代入第一焦點距離的座標表達式，得

$$(x+c)^2+y^2=(a+ex)^2, \qquad (e^2-1)x^2-y^2=a^2(e^2-1),$$

即所需方程。反過來，從標準式計算兩焦點距離的平方，得到

$$r_1=|ex+a|,\qquad r_2=|ex-a|.$$

絕對值不能直接刪去。右分支上 $ex\geq ea=c\gt a$，兩式內部均為正，相減得兩倍實半軸長。左分支上 $ex\leq-c$，兩式內部均為負，取絕對值後有符號距離差反向。兩分支都滿足原來的絕對值條件。至此證明的是等價關係，而不只是平方後得到的必要條件。

概念視角幾何

同一曲線的兩種距離描述

這些距離公式也恢復焦點—準線條件：

$$r_1=e\left|x+\frac ae\right|,\qquad r_2=e\left|x-\frac ae\right|.$$

絕對值內的量對應到各條豎直準線的距離。每一組正確配對的焦點與準線都描述整條雙曲線，並非只描述較近的分支。絕對距離差的描述對稱地使用兩個焦點；焦點—準線描述則選定一個焦點和一條直線。兩種觀點一致，但焦點與準線不能配錯。

反例模式

橢圓參數不能直接定義雙曲線

若聲稱兩個相距四單位的焦點可以有恆為六單位的絕對距離差，就違反逆三角不等式：兩距離之差的絕對值不超過焦點間距離。例如 $a=3,c=2$ 不能定義上述雙曲線，卻可定義距離和為六的橢圓。具體來說，$P=(3,0)$ 到焦點 $(\pm2,0)$ 的距離為五和一，和為六，差卻為四。正確修補是對非退化雙曲線要求 $c\gt a$。等號也須排除：逆三角不等式取等號給出共線射線，而非非退化曲線。

例題

識別雙曲線並檢查兩種焦點條件

考慮 $x^2/9-y^2/16=1$。有 $a=3,b=4,c=5,e=5/3$，所以準線為 $x=\pm9/5$。點 $P=(5,16/3)$ 位於右分支，因為

$$\frac{25}{9}-\frac{(16/3)^2}{16}=1.$$

它到左、右焦點的距離依次為 $34/3$ 和 $16/3$，差為六。它到右準線的距離為 $16/5$，乘以離心率後正好是 $16/3$。兩種描述在該點一致。關於縱軸反射此點，會交換兩個焦點距離，只改變距離差的符號。

參數式、切線與法線

恆等式 $\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$ 給出

$$\gamma(\theta)=(a\sec\theta,b\tan\theta).$$

右分支取 $-\pi/2\lt\theta\lt\pi/2$，左分支取 $\pi/2\lt\theta\lt3\pi/2$。端點角的餘弦為零，必須排除。在每個區間內，正切取遍所有實數，正割的符號則選定分支，因此每個區間覆蓋對應的完整分支。

定理

包括頂點的切線與法線公式

在雙曲線上的點 $P=(x_0,y_0)$，切線為

$$\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1,$$

法線為

$$a^2y_0x+b^2x_0y-(a^2+b^2)x_0y_0=0.$$

定義函數的梯度為 $(2x_0/a^2,-2y_0/b^2)$。雙曲線上的點不可能橫座標為零，所以梯度非零。切線垂直於梯度，展開點法式便得到所列切線方程；法線沿梯度方向，且所列方程通過接觸點。整個證明無需除以縱座標。

頂點處的切線豎直，法線是橫軸。非頂點處，隱函數求導給出切線斜率 $b^2x_0/(a^2y_0)$，法線斜率 $-a^2y_0/(b^2x_0)$。頂點處參數導數的水平分量雖為零，但整個導數向量非零；豎直切線不代表曲線出現奇點。

例題

非頂點切線與頂點例外

在前例的點 $(5,16/3)$，代入公式得到切線與法線

$$5x-3y=9,\qquad 9x+15y=125.$$

斜率分別為 $5/3$ 與 $-3/5$，乘積為負一。但在 $(3,0)$，對應方程是 $x=3$ 與 $y=0$。除以縱座標的計算會漏掉這條有效切線；隱式方程直接包含兩種情況，不必另設極限約定。

漸近線與平方根的符號

解出縱座標可得

$$y=\pm\frac ba\sqrt{x^2-a^2},\qquad |x|\geq a.$$

與絕對值近似之間的差為

$$\sqrt{x^2-a^2}-|x| =\frac{-a^2}{\sqrt{x^2-a^2}+|x|}\longrightarrow0 \quad\text{當 }|x|\longrightarrow\infty.$$

因此漸近線是 $y=\pm(b/a)x$。上半部向右無窮遠時接近正斜率直線，向左無窮遠時接近負斜率直線；下半部的選擇相反。若將平方的平方根誤寫成座標本身，就會弄錯左側行為。縱向距離趨於零也保證到相應直線的垂直距離趨於零。漸近線在無窮遠處被接近，並不是某個有限點處的切線。

反射：區分真實焦點與虛焦點

令 $u_i=(P-F_i)/|P-F_i|$，這是從焦點指向曲線上點的單位向量。每個分支的有符號焦點距離差恆定；沿正則參數曲線求導，說明切線垂直於 $u_1-u_2$。這個差非零：若兩個單位方向相同，該點必須位於焦點軸的外側射線上，而那裏的絕對距離差等於完整焦距，不能等於雙曲線所要求的較小常數。

入射光從第一焦點走向接觸點，方向為 $u_1$。關於切線反射後，方向變成

$$u_1-2\frac{u_1\cdot(u_1-u_2)}{|u_1-u_2|^2}(u_1-u_2)=u_2,$$

因為點積分子為 $1-u_1\cdot u_2$，分母為其兩倍。出射光因此遠離第二焦點，而反向延長線通過它。這就是與切線等傾角的虛焦點解釋，與橢圓反射後射向另一焦點不同。

頂點處兩個單位向量相反，其差仍定義法向方向，反射公式仍然成立。但它們的和為零，因此不能用這個和定義頂點處的切向方向。

垂足軌跡：圓方程為甚麼還需要排除點

例題

確定焦點垂足的精確軌跡

固定 $F=(-c,0)$，令 $X=(u,v)$ 為從該焦點到某個有限接觸點處切線的垂足。先證明所有垂足滿足 $u^2+v^2=a^2$，再判斷哪些圓上點真正能夠達到。

把切線寫成 $\alpha x+\beta y=1$，其係數滿足

$$\alpha=\frac{x_0}{a^2},\quad \beta=-\frac{y_0}{b^2},\quad a^2\alpha^2-b^2\beta^2=1.$$

記 $N=\alpha^2+\beta^2\gt 0$。正交投影給出

$$X=F+\lambda(\alpha,\beta),\qquad \lambda=\frac{1+c\alpha}{N}.$$

計算垂足到原點的距離平方：

$$|X|^2=c^2+\frac{1-c^2\alpha^2}{N} =c^2-b^2=a^2.$$

第二個等號使用係數恆等式及 $c^2=a^2+b^2$。這只證明軌跡包含在圓中，尚未證明圓上每點都屬於軌跡。

反過來，選取圓上一點 $(u,v)$，令 $d=a^2+cu$。由於焦點在圓外，向量 $X-F=(u+c,v)$ 非零。通過候選垂足並垂直於該向量的唯一直線為

$$(u+c)x+vy=d.$$

若 $d\ne0$，定義有限點

$$P=\left(\frac{a^2(u+c)}d,-\frac{b^2v}d\right).$$

利用圓方程直接展開可得

$$a^2(u+c)^2-b^2v^2=(a^2+cu)^2=d^2.$$

所以該點在雙曲線上，它的切線恰好就是候選直線。直線通過選定的圓上點，並垂直於從焦點到該點的線段，因此該點確為垂足。這個顯式接觸點完成了逆命題，不能只憑消元後的方程宣稱存在。

若 $d=0$，則兩個候選點為

$$\left(-\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right),\qquad \left(-\frac{a^2}{c},-\frac{ab}{c}\right).$$

對應直線通過原點，正是兩條漸近線。標準切線方程表明，有限接觸點處的切線不可能通過原點，所以這兩點必須排除；它們只是接觸點趨向無窮遠時垂足的極限。精確軌跡是圓去掉這兩個點。

當 $a=3,b=4,c=5$ 時，從 $(-5,0)$ 到切線 $5x-3y=9$ 的垂足為 $(0,-3)$：法向量為 $(5,-3)$，從焦點加上此向量便到達垂足。被排除的是 $(-9/5,\pm12/5)$；它們不是雙曲線上的接觸點。

常見錯誤與總結

把距離和與絕對距離差混淆，會改變圓錐曲線。漏掉分支符號會破壞逆命題，除以縱座標會丟失頂點切線，而消元所得方程可能描述軌跡的閉包，不是實際達到的精確集合。

標準方程把這些問題連繫起來：它決定分支上的焦點距離，給出正則的切線與法線方程，並證明漸近線不是有限點處的切線。處理軌跡題時，應先交代參數定義域，再在求出方程後證明可達性。

快速檢查

思考檢查

為甚麼要同時描述兩個分支時必須使用絕對距離差？

比較左、右分支的焦點距離。

解答 · 答案

右分支的有符號距離差為 $2a$，左分支為 $-2a$；兩者的絕對距離差都是 $2a$。

思考檢查

縱座標為零會令切線不存在嗎？

在頂點代入隱式切線方程。

解答 · 答案

不會。在 $(\pm a,0)$，切線為 $x=\pm a$，法線為 $y=0$。失效的只是有限斜率公式。

練習

1. 對 $x^2/16-y^2/9=1$，求焦點、離心率、準線與漸近線。
2. 求該雙曲線在 $(5,9/4)$ 處的切線與法線。
3. 將左焦點記為第一焦點，求左分支上的有符號焦點距離差。
4. 當 $a=3,b=4$ 時，求從左焦點出發的精確垂足軌跡，並解釋為何兩個圓上點缺失。
5. 解釋上述反射構造的出射光為何遠離第二焦點，並包含頂點的情況。

解答 · 參考解答 1

有 $a=4,b=3,c=5,e=5/4$。焦點為 $(\pm5,0)$，準線為 $x=\pm16/5$，漸近線為 $y=\pm3x/4$。

解答 · 參考解答 2

切線為 $5x-4y=16$，法線為 $16x+20y=125$。兩線都經過該點，斜率互為負倒數。

解答 · 參考解答 3

距離差為 $-8$，因為點更接近左焦點；其絕對值為八。

解答 · 參考解答 4

軌跡是 $u^2+v^2=9$ 去掉 $(-9/5,\pm12/5)$。在這兩點，唯一的垂直候選直線是漸近線，並非有限接觸點處的切線。其餘每個圓上點都有例題所給的顯式有限接觸點。

解答 · 參考解答 5

反射把 $u_1$ 變為 $u_2$，後者從第二焦點指向接觸點，所以出射光遠離該焦點。頂點處兩單位向量相反，同一反射公式仍成立。