11.1 拋物線：焦點、准線、切線與法線

動機

拋物線可以先由距離關係定義，再寫成方程。幾何定義解釋了為甚麼會出現特定的二次式， 也解釋了平移或改變朝向為何仍得到同類曲線。參數表示隨後把切線、法線問題變成一元方程， 實根的數目及是否相異都有直接的幾何意義。

這些論證中有幾個容易忽略的要求：距離等式平方後須證明逆向成立，斜率公式可能漏掉竪直切線， 而軌跡計算必須說明每個聲稱屬於軌跡的點確實能夠取得。消去參數得到一個方程， 本身並不自動完成整個幾何證明。

焦點、准線與標準方程

定義

拋物線的焦點准線定義

設平面內固定點 $F$ 不在固定的真正直線 $D$ 上。 離心率為 $e\gt0$ 的焦點准線條件是 $\operatorname{dist}(X,F)=e\operatorname{dist}(X,D)$。 $F$ 稱為焦點，$D$ 稱為準線。拋物線對應 $e=1$，即兩個距離相等。

點到直線的距離是垂直距離，不是到線上任意一點的距離。 由於 $F\notin D$，滿足條件的點不可能在 $D$ 上；否則它到 $F$ 的距離也為零，產生矛盾。 因此軌跡上的距離比有定義。准線須有非零法向量，不能用空集或整個平面代替。

取通過 $F$ 且垂直於 $D$ 的方向為橫軸，並以 $F$ 與其在 $D$ 上的垂足之間的中點為原點。 於是可寫 $F=(a,0)$、$D:x=-a$，其中 $a\gt0$。焦點到准線的距離是 $2a$， 正值條件記錄了兩者不重合。

概念視角幾何

方程記錄的是兩個距離相等

對於 $X=(x,y)$，到焦點的距離為 $\sqrt{(x-a)^2+y^2}$，到竪直准線的距離為 $|x+a|$。 前者測量點到點的位移，後者只測量到達直線所需的水平分量。 把這兩種不同的幾何測量設為相等，便得到拋物線方程。

原點到焦點與准線的距離都是 $a$，所以在軌跡上。下述方程還會說明所有點滿足 $x\ge0$， 原點因此是頂點，橫軸是對稱軸。

定理

焦點准線條件與拋物線方程等價

設 $a\gt0$、$F=(a,0)$、$D:x=-a$。點 $X=(x,y)$ 到 $F,D$ 的距離相等，當且僅當

$$y^2=4ax.$$

由距離相等，

$$\sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a| \quad\Longrightarrow\quad (x-a)^2+y^2=(x+a)^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2=4ax.$$

反過來，若 $y^2=4ax$，由 $a\gt0$ 得 $x\ge0$。代入可得 $(x-a)^2+y^2=(x+a)^2$，取非負平方根即恢復 $\sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|$，且此時 $x+a\gt0$。 所以平方沒有引入多餘的點。由方程也能看出 $y\mapsto-y$ 的對稱性，以及 $x=0$ 時只有原點。

平移後的方程 $(y-k)^2=4a(x-h)$，頂點為 $(h,k)$，焦點為 $(h+a,k)$，准線為 $x=h-a$。 若右邊改成 $-4a(x-h)$，開口反向，焦點為 $(h-a,k)$，准線為 $x=h+a$。 交換坐標得到向上開口的 $(x-h)^2=4a(y-k)$，焦點為 $(h,k+a)$，准線為 $y=k-a$； 向下開口時右邊帶負號，焦點為 $(h,k-a)$，准線為 $y=k+a$。 這裡始終保留 $a\gt0$，用方程中的符號區分朝向。

t = 1

P = (1, 2); PF = PD = 2

對 $y^2=4x$，焦點為 $F=(1,0)$，準線為 $x=-1$。點 $P=(t^2,2t)$ 滿足 $PF=PD=t^2+1$，其中 $D$ 是準線上的垂足。細虛線是切線 $x-ty+t^2=0$。當 $t=0$，切線為鉛直線 $x=0$。

參數、切線與法線

標準拋物線的每個點都能唯一寫成

$$P(t)=(at^2,2at),\qquad t\in\mathbb R.$$

代入即可驗證點在曲線上。反過來，對曲線上任一點 $(x,y)$，取 $t=y/(2a)$，則 $at^2=y^2/(4a)=x$。因此參數既不遺漏頂點，也不會重復表示同一點。

定理

對每個實參數成立的切線與法線方程

在 $P(t)=(at^2,2at)$ 處，切線與法線分別為

$$x-ty+at^2=0,\qquad tx+y-2at-at^3=0.$$

它們適用於所有 $t\in\mathbb R$，包括 $t=0$。

對參數表示求導，得到 $P'(t)=(2at,2a)$。由於 $a\gt0$，導向量永不為零， 故 $(t,1)$ 是切向量，$(1,-t)$ 是與其垂直的法向量。 切線滿足 $(1,-t)\cdot((x,y)-P(t))=0$，展開便得第一式。 通過同一點的法線以 $(t,1)$ 為法向量，展開其點法式便得第二式。

若 $t\ne0$，切線斜率為 $1/t$，法線斜率為 $-t$。 在 $t=0$，切線為 $x=0$，法線為 $y=0$。斜率公式不能使用時，直線方程仍然有效。 對於切點 $(x_0,y_0)$，等價形式為

$$y_0y=2a(x+x_0),\qquad y_0(x-x_0)+2a(y-y_0)=0.$$

代入 $x_0=at^2,y_0=2at$ 即可得到這些式子；它們同樣包括頂點。

例題

平移幾何對象並保留頂點處的切線

對 $(y+2)^2=8(x-3)$，有 $a=2$，頂點為 $(3,-2)$，焦點為 $(5,-2)$，准線為 $x=1$。 參數表示為 $(3+2t^2,-2+4t)$，導數為 $(4t,4)$。 在 $t=0$，切向量竪直，因此切線是 $x=3$，垂直的法線是 $y=-2$。 這裡不存在有限的切線斜率，但曲線及兩條直線都仍然有定義。

過一點的切線與切點弦

參數 $t$ 處的切線通過 $H=(h,k)$，當且僅當

$$at^2-kt+h=0.$$

由於 $a\gt0$，這是一個真正的二次方程。判別式 $\Delta=k^2-4ah$ 決定實切點參數的數量： 兩個相異實根給出兩條切線，重根給出一條切線，沒有實根則沒有實切線。 相異參數確實對應不同直線，因為標準化後的切線方程中 $y$ 的系數為 $-t$。 當 $\Delta=0$，點本身滿足 $k^2=4ah$，就在拋物線上。

現設 $\Delta\gt0$，把此處的外點理解為能引出兩條不同切線的點。 若切點為 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，將 $H$ 代入兩個切線方程，得到 $2a(h+x_i)-ky_i=0$，所以連接兩個切點的切點弦為

$$2a(x+h)-ky=0.$$

其 $x$ 系數為 $2a\ne0$，故確實是一條直線；它經過兩個相異切點，所以唯一確定。 推導無需除以 $k$；當 $k=0$，它就是竪直線 $x=-h$。 若沒有兩個相異切點，即使仍能寫出這個線性式，也不能據此聲稱已經構造了切點弦。

例題

通過外點的兩條切線

對 $y^2=4x$ 及 $H=(-2,1)$，參數方程為 $t^2-t-2=(t-2)(t+1)=0$。切點參數為 $2,-1$，切線為

$$x-2y+4=0,\qquad x+y+1=0.$$

切點分別是 $(4,4)$、$(1,-2)$。兩條切線都通過 $(-2,1)$，切點弦為 $2x-y-4=0$。 代入兩個切點即可核對；這條弦連接兩個切點，與任一切線都不同。

向焦點反射

考慮沿軸線平行方向射向拋物線的光，其單位入射方向為 $d=(-1,0)$。 在 $P(t)$ 處關於切線反射時，方向的切向分量不變，法向分量反號。 這種向量描述無需分別討論切線或反射光線竪直的特殊情況。

證明: 反轉法向分量，不必除以斜率

法向量與合法分母。 切線的一個法向量是 $n=(1,-t)$， 所以對所有實數 $t$，$\|n\|^2=1+t^2\gt0$。 入射方向的法向分量為 $((d\cdot n)/\|n\|^2)n$。

反射步驟。 要把該分量反號，就減去它的兩倍：

$$d_{\mathrm{out}} =d-2\frac{d\cdot n}{\|n\|^2}n =\frac{(1-t^2,-2t)}{1+t^2}.$$

目標方向。 對 $F=(a,0)$，

$$F-P(t)=a(1-t^2,-2t),\qquad \|F-P(t)\|=a(1+t^2).$$

因此 $d_{\mathrm{out}}=(F-P(t))/\|F-P(t)\|$：反射光確實朝向焦點， 而不只是沿著一條不區分正反方向、經過焦點的直線。

邊界核對。 $t=0$ 時射出方向為 $(1,0)$；$t=1$ 時為 $(0,-1)$；$t=-1$ 時為 $(0,1)$。 同一計算覆蓋三種情形，不會像某些斜率推導那樣除以可能為零的 $t$ 或 $t^2-1$。

垂直位置向量產生的中點軌跡

設 $O=(0,0)$，相異切點 $A=P(t_1)$、$B=P(t_2)$ 滿足 $\angle AOB=\pi/2$。 兩個切點都必須不同於 $O$，所以 $t_1t_2\ne0$。令 $s=t_1+t_2$、$p=t_1t_2$，點積給出

$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} =a^2t_1t_2(t_1t_2+4)=a^2p(p+4)=0.$$

因為 $p\ne0$，必有 $p=-4$。若接受另一因子 $p=0$，就會把零位置向量處沒有定義的夾角也包括進來。

例題

消去參數並證明完整的中點軌跡

令 $T$ 為 $A,B$ 處兩條切線的交點，$N$ 為兩條法線的交點。 由於 $p=-4$，參數相異。兩切線方程相減得 $(t_1-t_2)y=a(t_1^2-t_2^2)$，除以非零差得到 $y=as$，再代回得到

$$T=(ap,as)=(-4a,as).$$

同樣將法線方程相減，可得 $x=a(2+t_1^2+t_1t_2+t_2^2)=a(2+s^2-p)$，代回任一法線得 $y=-aps$。 因此

$$N=(a(s^2+6),4as),\qquad M=\frac{T+N}{2}=\left(a+\frac a2s^2,\frac{5a}{2}s\right).$$

消去 $s$ 得

$$y^2=\frac{25a}{2}(x-a).$$

這只先證明了構造出的中點都在該拋物線上。反過來，取其上任意一點，令 $s=2y/(5a)$。 方程 $z^2-sz-4=0$ 的判別式為 $s^2+16\gt0$，因此給出相異、非零的兩個實參數， 它們的和為 $s$、積為 $-4$。對應位置向量非零且正交，構造出的中點恰好就是給定點。 所以軌跡是整條拋物線，而不只是它的一個子集。

三條法線與固定重心

定理

存在三個相異實法線切點時的重心

固定 $a\gt0$ 及實數 $h$。對點 $H=(h,k)$，假設有三個相異實切點參數 $t_1,t_2,t_3$，其對應法線都通過 $H$。三個切點的重心為

$$G=\left(\frac{2(h-2a)}3,0\right).$$

因此，當 $k$ 在滿足上述三切點條件的位置之間變化時，重心保持不變。

把 $H$ 代入法線方程，得到

$$at^3+(2a-h)t-k=0.$$

它的根是切點參數，不是給定點的坐標。在定理假設下，三個實根相異。由 Vieta 關係，

$$\sum_i t_i=0,\qquad \sum_{i\lt j}t_it_j=\frac{2a-h}{a},\qquad \sum_i t_i^2=\left(\sum_i t_i\right)^2-2\sum_{i\lt j}t_it_j =\frac{2(h-2a)}a.$$

將坐標 $(at_i^2,2at_i)$ 分別平均，即得所述重心。 三個相異切點並不共線：若真正直線 $Ax+By+C=0$ 經過三點，代入參數便使三個參數 都是 $Aa t^2+2aBt+C$ 的根。此多項式次數至多為二，又因直線系數不全為零而不恆為零， 不可能有三個相異根。因此切點確實構成三角形，而不是退化的三點配置。

$k$ 只影響三次式的常數項，不影響這兩個對稱和，所以重心只依賴 $h$。 存在條件不能省略：實三次式未必有三個相異實根。 即使復根或重根仍滿足代數恆等式，也不能把它們當作三個相異的實切點。

例題

一個有效的三法線配置及其條件限制

取 $h=3a$、$k=0$。法線方程為 $at(t^2-1)=0$，給出 $t=-1,0,1$。 切點為 $(a,-2a),(0,0),(a,2a)$，重心為 $(2a/3,0)$，與定理一致。 三條法線方向不同，且都通過 $(3a,0)$。這裡允許頂點作為切點， 因為與前面的直角位置向量問題不同，本構造不要求從 $O$ 到該切點的向量形成夾角。

若 $h=0,k=0$，方程為 $at(t^2+2)=0$，只有一個實根，因而沒有三個實切點形成的三角形。 重心結論不能應用於這種情況，也沒有斷言竪直線上每個點都能引出三條法線。

快速檢查

思考檢查

Q1. 為甚麼這裡把焦點准線等式平方後，仍得到等價的軌跡？

檢查逆向推理，以及平方相等的兩個量的符號。

解答 · 快速檢查 Q1

由 $y^2=4ax$、$a\gt0$ 得 $x\ge0$，且 $(x-a)^2+y^2=(x+a)^2$。 取非負平方根恢復兩個距離，其中 $|x+a|=x+a\gt0$。

思考檢查

Q2. 頂點處的切線竪直，是否意味著法線公式也失效？

使用直線方程，不要除以斜率。

解答 · 快速檢查 Q2

不是。$t=0$ 時切線為 $x=0$，法線為 $y=0$。 導向量 $(0,2a)$ 非零，所以切向方向仍有定義。

總結

保留距離符號與 $a\gt0$ 後，焦點准線條件與 $y^2=4ax$ 等價。 正則參數表示給出包括頂點在內的切線、法線方程。切線數目由二次式的實根決定， 反射性質由法向分量反號得到。對於軌跡及重心問題，實切點條件、退化情形的排除， 以及反向構造共同決定結論的適用範圍。

練習

1. 對 $(x-1)^2=-12(y+2)$，指出頂點、焦點、准線，以及頂點處的切線和法線。
2. 求從 $H=(-a,0)$ 到 $y^2=4ax$ 的兩條切線及切點弦。 保留 $a\gt0$，不要除以 $H$ 的第二個坐標。
3. 在垂直位置向量構造中，取 $t_1=2$、$t_2=-2$。 計算 $A,B,T,N,M$，並驗證直角條件。
4. 假設經過 $(4a,k)$ 的三個相異實法線切點存在，求其重心，並準確解釋這個假設的作用。

引導解答

解答 · 解答 1

這裡 $a=3$，開口向下，頂點為 $(1,-2)$，焦點為 $(1,-5)$，准線為 $y=1$。 頂點處的切線為 $y=-2$，法線為 $x=1$。

解答 · 解答 2

參數方程為 $at^2-a=0$，所以 $t=1,-1$。 切線為 $x-y+a=0$、$x+y+a=0$，切點為 $(a,2a)$、$(a,-2a)$。 切點弦為 $2a(x-a)=0$，即 $x=a$。

解答 · 解答 3

$A=(4a,4a)$、$B=(4a,-4a)$ 都非零，且點積為 $16a^2-16a^2=0$。 此時 $s=0,p=-4$，所以 $T=(-4a,0)$、$N=(6a,0)$、$M=(a,0)$，即中點軌跡的頂點。

解答 · 解答 4

重心為 $(4a/3,0)$。假設提供三個相異實切點參數，才能把 Vieta 和解釋成三個切點的幾何重心。 不能僅憑點位於 $x=4a$ 就應用結論；不產生三個這樣切點的 $k$ 值不在斷言範圍內。