9.2 叉積、純量三重積與向量幾何

從純量積到有向法向量

點積衡量兩個向量在同一方向上的分量關係，輸出是純量。在三維幾何中，我們 還需要一種運算，產生同時垂直於兩個給定方向的向量。這樣的向量能指定它們 所在平面的法向方向，其長度還可以記錄所張成的面積。叉積同時提供這兩類資訊。

本節所有向量都屬於 $\mathbb R^3$。採用標準右手正交單位基 $\mathbf i=(1,0,0)$、$\mathbf j=(0,1,0)$、$\mathbf k=(0,0,1)$。 $\|\mathbf u\|$ 表示長度，$\mathbf0$ 表示零向量。這裏定義的叉積是 三維運算，這個座標公式並不是任意 $\mathbb R^n$ 中叉積的定義。 與點積不同，叉積還必須保留輸入的次序。

定義與座標公式

定義

三維空間中的叉積

對 $\mathbf u=(u_1,u_2,u_3)$ 和 $\mathbf v=(v_1,v_2,v_3)$，定義

$$\mathbf u\times\mathbf v =(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

結果是向量，不是純量。計算時可用以下展開記號幫助記憶：

$$\mathbf u\times\mathbf v= \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3 \end{vmatrix}.$$

沿第一行展開時，符號依次是正、負、正。特別是中間分量為 $-(u_1v_3-u_3v_1)$，忘記這個負號會改變答案。第一行含基向量的數組只是 座標公式的簡寫；稍後各項都是實數時，才出現通常的純量行列式。

公式給出 $\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k$、 $\mathbf j\times\mathbf k=\mathbf i$、$\mathbf k\times\mathbf i=\mathbf j$。 每個基向量與自身的叉積都是 $\mathbf0$。這些等式固定了本節採用的正向約定。

例題

計算叉積並檢查結果

取 $\mathbf u=\mathbf i+2\mathbf k=(1,0,2)$、 $\mathbf v=2\mathbf i-3\mathbf j+\mathbf k=(2,-3,1)$。則

$$\begin{aligned} \mathbf u\times\mathbf v &=(0\cdot1-2(-3),\ 2\cdot2-1\cdot1,\ 1(-3)-0\cdot2)\\ &=(6,3,-3). \end{aligned}$$

檢查它與兩個輸入的點積：

$$(6,3,-3)\cdot(1,0,2)=6-6=0, \qquad (6,3,-3)\cdot(2,-3,1)=12-9-3=0.$$

兩者均為零，符合法向量的要求。這項檢查能發現部分符號錯誤，但僅憑垂直性 不能確定所需長度，也不能在兩個相反的法向方向中作出選擇。

代數規則及其證明

定理

叉積的代數性質

對 $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\in\mathbb R^3$ 和 $t\in\mathbb R$，

$$\begin{aligned} \mathbf u\times\mathbf v&=-\mathbf v\times\mathbf u,\\ \mathbf u\times(\mathbf v+\mathbf w) &=\mathbf u\times\mathbf v+\mathbf u\times\mathbf w,\\ (t\mathbf u)\times\mathbf v &=\mathbf u\times(t\mathbf v)=t(\mathbf u\times\mathbf v). \end{aligned}$$

交換輸入會使每個座標差變號。例如 $v_2u_3-v_3u_2=-(u_2v_3-u_3v_2)$，其餘兩座標相同處理，便證明了 反交換律。對於分配律，左邊第一座標展開為

$$u_2(v_3+w_3)-u_3(v_2+w_2) =(u_2v_3-u_3v_2)+(u_2w_3-u_3w_2).$$

第二、第三座標作同樣展開，便得到向量等式。純量乘在任一輸入上，都可以從 每個座標差中提出，因此最後一條在 $t=0$ 時也成立。第一輸入的分配律可由 反轉次序、對第二輸入分配、再反轉次序得到。這樣是從座標定義證明規則， 並沒有先從幾何圖像假設這些規則成立。

反例模式

叉積不滿足交換律

看似自然的斷言 $\mathbf u\times\mathbf v=\mathbf v\times\mathbf u$ 在 $\mathbf u=\mathbf i$、$\mathbf v=\mathbf j$ 時就失敗了： 兩個結果分別是 $\mathbf k$ 與 $-\mathbf k$。正確規則帶有負號。 顛倒輸入次序保持面積，但使有向法向量反向。只有叉積為 $\mathbf0$ 時， 兩種次序的結果才相同，因為實向量若等於自身的相反向量，就必須為零。

垂直性、長度與方向

定理

叉積的幾何意義

$\mathbf u\times\mathbf v$ 同時垂直於兩個輸入。若兩個輸入都非零， 設夾角 $\theta\in[0,\pi]$，則

$$\|\mathbf u\times\mathbf v\|=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\sin\theta.$$

若兩者不平行，其方向是由 $\mathbf u$ 轉向 $\mathbf v$ 的右手法向方向。 若任一輸入為零，或兩個非零輸入平行，則叉積為 $\mathbf0$。

垂直性可直接由消項證明：

$$\begin{aligned} \mathbf u\cdot(\mathbf u\times\mathbf v) &=u_1u_2v_3-u_1u_3v_2+u_2u_3v_1-u_1u_2v_3 +u_1u_3v_2-u_2u_3v_1\\ &=0. \end{aligned}$$

交換輸入並使用反交換律，也得到它垂直於 $\mathbf v$。為驗證長度， 展開平方可得

$$\begin{aligned} \|\mathbf u\times\mathbf v\|^2 &=(u_2v_3-u_3v_2)^2+(u_3v_1-u_1v_3)^2+(u_1v_2-u_2v_1)^2\\ &=(u_1^2+u_2^2+u_3^2)(v_1^2+v_2^2+v_3^2) -(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)^2. \end{aligned}$$

右邊相減後，對應的對角平方項消去；剩餘平方項與交叉項，恰好組成三個 座標差的平方。輸入非零時，代入 $\mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\cos\theta$。 由於規定區間內 $\sin\theta\ge0$，取非負平方根便得到長度公式。

座標約定選擇右手規則：右手手指沿兩向量的夾角由第一個向量彎向第二個， 拇指所指就是法向方向。基向量的關係 $\mathbf i\times\mathbf j=\mathbf k$ 固定了哪一種方向為正。輸入為零或平行時，沒有非零叉積方向可選；我們也不為 零向量定義夾角。對非零輸入，長度為零恰好發生在 $\theta=0$ 或 $\theta=\pi$。

例題

從同一次計算讀出面積和單位法向量

前例中 $\mathbf u\times\mathbf v=(6,3,-3)$，所以

$$\|\mathbf u\times\mathbf v\|=\sqrt{36+9+9}=3\sqrt6.$$

兩向量所張成的平行四邊形面積就是此值：底長為 $\|\mathbf u\|$， 垂直高度為 $\|\mathbf v\|\sin\theta$。它們所張成的三角形面積為一半， 即 $3\sqrt6/2$。有序輸入選擇單位法向量

$$\widehat{\mathbf n}=\frac{(6,3,-3)}{3\sqrt6} =\frac{(2,1,-1)}{\sqrt6}.$$

相反向量也是該平面的單位法向量，但對應反轉輸入次序。這裏算出的長度非零， 所以可以除以叉積的範數；退化情形則不能這樣歸一化。

純量三重積與行列式

定義

純量三重積

三個 $\mathbb R^3$ 向量的純量三重積定義為

$$[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w]=(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf w.$$

先計算叉積，其輸出為向量；最後再作點積，輸出便是實純量。

代入叉積座標公式，得到

$$\begin{aligned} [\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w] &=(u_2v_3-u_3v_2)w_1-(u_1v_3-u_3v_1)w_2 +(u_1v_2-u_2v_1)w_3\\ &=\begin{vmatrix}u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\\w_1&w_2&w_3\end{vmatrix}. \end{aligned}$$

最後一個等號是沿行列式第三行展開。因此循環置換三個向量會保持三重積， 交換任意兩個向量則會改變符號。循環置換相當於交換兩次行，兩個負號抵消。 行的次序必須與幾何解釋中採用的向量次序相符。

定理

有向體積與普通體積

純量三重積是有序向量所張成的平行六面體的有向體積，其普通體積為

$$V=|[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w]|.$$

三重積為零，當且僅當三個向量位於同一個過原點的平面內，包括所有退化情形。

若 $\mathbf u\times\mathbf v\ne\mathbf0$，取其單位法向量 $\widehat{\mathbf n}$。純量 $h=\widehat{\mathbf n}\cdot\mathbf w$ 是相對於底面的有向高度。因此

$$[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w] =\|\mathbf u\times\mathbf v\|h.$$

底面積乘有向高度就證明了有向體積公式。普通高度是 $|h|$，所以普通體積 須取絕對值。若 $\mathbf w$ 非零，設它與選定法向量的夾角為 $\alpha$， 則 $h=\|\mathbf w\|\cos\alpha$。當 $\pi/2\lt\alpha\le\pi$ 時高度為負。 若 $\mathbf w=\mathbf0$，直接知道高度是零，不必定義夾角。

底面非退化時，高度為零恰好表示 $\mathbf w$ 位於底面內。若底面的叉積為零， 面積與三重積都為零；前兩個向量至多張成一條直線，加上第三個向量後，三者 仍可放在同一個平面內。此時無須構造單位法向量。

概念視角幾何

行列式同時衡量底面積與高度

固定前兩行，它們的叉積記錄有向底面積。再與第三行作點積，只保留第三個 向量的法向分量：在底面方向內移動第三個向量，不會改變體積。因此行列式 用一個純量結合面積與有向高度。絕對值忽略方向，而叉積本身則保留選定的 法向方向。這也解釋了為何改變第三個向量的長度，並不一定改變體積：真正 參與計算的是它在法向方向上的投影。

例題

用明確座標描述邊長為二的立方體

選取立方體頂點 $A=(0,0,0)$、$B=(2,0,0)$、$D=(0,2,0)$、 $C=(2,2,0)$、$E=(0,0,2)$。於是 $ABCD$ 是底面正方形，$E$ 在 $A$ 的正上方。則

$$\overrightarrow{AB}=(2,0,0),\quad \overrightarrow{AD}=(0,2,0),\quad \overrightarrow{CE}=(-2,-2,2).$$

前兩個向量的叉積為 $(0,0,4)$，所以

$$(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD})\cdot\overrightarrow{CE} =(0,0,4)\cdot(-2,-2,2)=8.$$

$\overrightarrow{CE}$ 的水平分量沒有貢獻；其有向鉛直高度為 $2$， 底面積為 $4$。若反轉 $AB$、$AD$ 的次序，有向結果變成 $-8$， 普通體積仍是 $8$。

先把幾何圖形翻譯成向量

面對圖形，先用終點座標減去起點座標，把有向線段化為向量。次序是題目資料 的一部分：$\overrightarrow{CE}=E-C$，而 $\overrightarrow{EC}=C-E$。 底面向量 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$ 已經共用起點； $\overrightarrow{CE}$ 也可以保持分量不變，將起點移到同一位置來畫。 體積公式討論的是這三個向量所張成的平行六面體，並不要求原圖的三支箭頭 都從同一個立方體頂點出發。

立方體例題中的水平位移沒有影響，也有直接的代數理由。設 $\mathbf n=\mathbf u\times\mathbf v$。對任意實數 $s,t$，由垂直性有

$$\mathbf n\cdot(\mathbf w+s\mathbf u+t\mathbf v) =\mathbf n\cdot\mathbf w+s\mathbf n\cdot\mathbf u+t\mathbf n\cdot\mathbf v =\mathbf n\cdot\mathbf w.$$

因此，沿底面方向滑動第三個向量的終點，不會改變有向高度與三重積。 這個結論來自完整的向量恆等式，對每組實係數都成立，不限於例題中立方體的 特定座標。

常見錯誤

斜線段的長度不是垂直高度

立方體例題中 $\|\overrightarrow{CE}\|=2\sqrt3$，但到底面平面的高度是 $2$。若將底面積 $4$ 乘以斜線段長度，就得到錯誤的體積 $8\sqrt3$。 與單位法向量作點積，正是補上所缺的投影操作。只有第三向量垂直於底面時， 才可用其全長作為高度；若要求普通體積而非有向體積，還須取絕對值。 有向答案為負表示方向，並不表示空間大小是負數。

在長度約束下使行列式最大

例題

同時找出上界與取等條件

設 $\mathbf a=(1,2,3)$、$\mathbf b=(3,2,1)$，且 $\mathbf c=(x,y,z)$ 滿足 $\|\mathbf c\|=\sqrt6$。計算得

$$\mathbf a\times\mathbf b=(-4,8,-4),\qquad \|\mathbf a\times\mathbf b\|=4\sqrt6.$$

把行列式寫成三重積：

$$D=\begin{vmatrix}1&2&3\\3&2&1\\x&y&z\end{vmatrix} =(-4,8,-4)\cdot\mathbf c.$$

若 $\alpha$ 是非零法向量 $(-4,8,-4)$ 與 $\mathbf c$ 的夾角， 則 $D=24\cos\alpha$，因此 $|D|\le24$。有向值的最大值 $D=24$ 發生在兩向量同向時。再用長度條件確定

$$\mathbf c=\frac{\sqrt6}{4\sqrt6}(-4,8,-4)=(-1,2,-1).$$

此向量的範數平方為 $1+4+1=6$，代入行列式得到 $4+16+4=24$。 它的相反向量給出 $D=-24$。所以最大絕對值是 $24$，恰在 $\mathbf c=\pm(-1,2,-1)$ 取得。若只證明一個上界而沒有給出取到該值的 向量，還不能斷言這個最大值確實能達到。

快速檢查

思考檢查

叉積與純量三重積的輸出分別是甚麼類型？

依次追蹤每個運算的輸出。

解答 · 答案

叉積是 $\mathbb R^3$ 中的向量，再與第三個向量作點積，就得到實純量。

思考檢查

叉積為零是否表示至少一個輸入為零？

考慮同一直線上的兩個非零向量。

解答 · 答案

不是。例如 $\mathbf i\times(2\mathbf i)=\mathbf0$，兩輸入都非零且平行。 當然，任一輸入為零也會使叉積為零。

思考檢查

交換三重積行列式的前兩行會改變甚麼？

區分有向體積與普通體積。

解答 · 答案

有向三重積改變符號，絕對值保持不變，所以普通體積也不變。

練習

1. 反轉次序，重新計算 $(1,0,2)$ 與 $(2,-3,1)$ 的叉積。
2. 用分配律計算 $(\mathbf i+\mathbf j)\times\mathbf k$。
3. 對 $\mathbf u=(1,0,2)$、$\mathbf v=(2,-3,1)$，求所張平行四邊形的 面積，以及所在平面的兩個單位法向量。
4. 在指定的立方體中，把 $\overrightarrow{CE}$ 改成 $\overrightarrow{EC}$， 求有向三重積與普通體積。
5. 證明：對每個實數 $t$，把第三個向量改成 $\mathbf w+t\mathbf u$， 不會改變 $[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w]$。
6. 在行列式例題的長度約束下，求最小有向值、最大有向值，以及所有使絕對值 達到最大的向量。

引導解答

解答 · 參考解答 1

由反交換律得到 $(-6,-3,3)$，是原本結果的相反向量。

解答 · 參考解答 2

$\mathbf i\times\mathbf k+\mathbf j\times\mathbf k =-\mathbf j+\mathbf i=(1,-1,0)$。

解答 · 參考解答 3

面積為 $\|(6,3,-3)\|=3\sqrt6$。除以非零範數，得到單位法向量 $\pm(2,1,-1)/\sqrt6$。

解答 · 參考解答 4

$\overrightarrow{EC}=(2,2,-2)$，所以 $(0,0,4)\cdot(2,2,-2)=-8$。 普通體積為 $|-8|=8$。

解答 · 參考解答 5

由點積分配律， $[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w+t\mathbf u] =[\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w]+t(\mathbf u\times\mathbf v)\cdot\mathbf u$。 最後一項因垂直性而為零，退化底面也成立。

解答 · 參考解答 6

範圍是 $-24\le D\le24$。最小值在 $(1,-2,1)$ 取得，最大值在 $(-1,2,-1)$ 取得。這兩個向量恰好是 $|D|$ 的全部最大值點， 因為 $|\cos\alpha|=1$ 要求平行方向。