8.3 特征多项式与对角化测试

上一节的零空间判准

\det(A-\lambda I)=0

已经告诉你如何测试一个候选数 $\lambda$ 是否为特征值。下一步，是把这个测试包成一个单一的多项式，而它的根正正就是矩阵的特征值。

这个多项式强大到足以限制矩阵到底可以有多少个特征值、描述重复特征值的情形，并给出可对角化的实用判准。

特征多项式

定义

特征多项式

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵。多项式

p_A(x)=\det(A-xI_n)

称为 $A$ 的 特征多项式。

变量 x 在这里只是未定元。一旦你把某个标量 $\lambda$ 代入进去， $p_A(\lambda)$ 便会变成 $A-\lambda I$ 的行列式。

定理

特征值正好就是特征多项式的根

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，而 $\lambda$ 是标量。下列两件事等价：

$\lambda$ 是 $A$ 的特征值；
$\lambda$ 是 $p_A(x)$ 的根。

这其实只是把上一节的行列式判准整理成较有系统的写法：

\lambda\text{ 是特征值} \iff \det(A-\lambda I)=0 \iff p_A(\lambda)=0.

定理

特征多项式的基本形状

若 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，则 $p_A(x)$ 是一个 n 次多项式，其最高次项系数是 $(-1)^n$ ，而常数项是 $\det(A)$ 。

因此，特征多项式绝不是任意的表达式。它的次数由矩阵大小固定，而其常数项已经记住了矩阵的行列式。

第一批例子

例题

一个 2×2 特征多项式

令

A= \begin{bmatrix} 3&2\\ 3&-2 \end{bmatrix}.

则

p_A(x)= \det \begin{bmatrix} 3-x&2\\ 3&-2-x \end{bmatrix} =(3-x)(-2-x)-6.

化简后得

p_A(x)=x^2-x-12=(x-4)(x+3).

因此特征值是 4 与 $-3$ 。

例题

一个重根例子

令

B= \begin{bmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{bmatrix}.

则

p_B(x)= \det \begin{bmatrix} 2-x&3\\ 0&2-x \end{bmatrix} =(2-x)^2=(x-2)^2.

所以 2 是唯一特征值，但它以重数 2 出现。

代数重数与几何重数

一旦根可以重复，便需要更精细的语言。

定义

代数重数与几何重数

设特征多项式分解为

p_A(x)=(-1)^n(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_s)^{m_s},

其中 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 是互异的根。

指数 $m_i$ 称为 $\lambda_i$ 的 代数重数。
特征空间 $E_A(\lambda_i)$ 的维数称为 $\lambda_i$ 的 几何重数。

代数重数来自多项式本身；几何重数来自零空间 $N(A-\lambda I)$ 。它们衡量的不是同一件事，而且未必相等。

定理

重数不等式

若 $\lambda$ 是 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的特征值，则

1\le m_g(\lambda)\le m_a(\lambda)\le n.

因此，每个特征空间至少有一维，但它的维数永远不会超过相应特征值的代数重数。

例题

重根，但特征空间太小

对

B= \begin{bmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{bmatrix},

特征多项式是 $(x-2)^2$ ，所以特征值 2 的代数重数是 2。

现在解 $(B-2I)x=0$ ：

B-2I= \begin{bmatrix} 0&3\\ 0&0 \end{bmatrix}.

因此 $x_2=0$ ， $x_1$ 自由。特征空间为

\operatorname{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix} \right\},

只有一维。也就是说

m_a(2)=2,\qquad m_g(2)=1.

这个不相等正正就是它不可对角化的原因。

互异特征值会强迫线性无关

定理

互异特征值所对应的特征向量必线性无关

若 $v_1,\dots,v_k$ 是 $A$ 的特征向量，而它们分别对应于互不相同的特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ ，则

v_1,\dots,v_k

必定线性无关。

这条定理立即带来两个重要推论。

定理

互异特征值的数目上界

一个 $n\times n$ 矩阵最多只可拥有 n 个互异特征值。

定理

互异特征值测试可对角化

若一个 $n\times n$ 矩阵恰好有 n 个互异特征值，则它必定可对角化。

其逆命题是假的。可对角化矩阵仍然可以有重复特征值。最简单例子就是单位矩阵：它只有特征值 1，但本身早已是对角矩阵。

更精确的可对角化判准

互异特征值是一个充分条件，但不是唯一条件。

定理

特征空间维数总和判准

设实 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的所有互异实特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 。则 $A$ 可对角化，当且仅当

\dim E_A(\lambda_1)+\cdots+\dim E_A(\lambda_s)=n.

这条判准的意思是：只要所有特征空间合起来已经提供足够多线性无关特征向量，可以凑成整个空间的一组基底，那矩阵便能被对角化。

例题

特征值重复，但仍然可对角化

令

A= \begin{bmatrix} 2&1&1\\ 1&2&1\\ 1&1&2 \end{bmatrix}.

它的特征值是 4 与 1，而 1 在代数上是重根。但 4 的特征空间是一维，而 1 的特征空间是二维，因此

1+2=3,

刚好等于矩阵大小，所以 $A$ 仍然可对角化。

Cayley-Hamilton 定理给出一条多项式恒等式

源笔记再向前走一步，把特征多项式重新代回矩阵本身。

定理

Cayley-Hamilton 定理

若

p_A(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_nx^n,

则

c_0I+c_1A+c_2A^2+\cdots+c_nA^n=0.

等价写法是 $p_A(A)=0$ 。

对可对角化矩阵来说，这条定理很好理解：若 $A=SDS^{-1}$ ，那么把多项式 $p_A$ 套到 $A$ 上，等于把它逐项套到 $D$ 的对角线各项上，而每个对角线项本身都是 $A$ 的特征值，因此也是 $p_A$ 的根。

实际后果是：高次幂 $A^m$ 可以改写成较低幂 $I,A,\dots,A^{n-1}$ 的线性组合。

例题

一条小型 Cayley-Hamilton 恒等式

令

A= \begin{bmatrix} 1&4\\ 0&1 \end{bmatrix}.

其特征多项式为

p_A(x)=(1-x)^2=x^2-2x+1.

因此 Cayley-Hamilton 告诉你

A^2-2A+I=0.

所以所有更高次幂，都可以用这条二次关系继续化简。

常见错误

重复特征值不等于“一定不可对角化”

重复特征值只表示某个特征值的代数重数大于 1。可对角化与否，取决于相应特征空间是否仍然提供足够多线性无关特征向量。重根是一个警号，但不是最终判决。

快速检查

$\begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix}$ 的特征多项式是什么？

用 $p_A(x)=\det(A-xI)$ 。

解答

答案

快速检查

若一个 $n\times n$ 矩阵有 `n` 个互异特征值，你可以立刻得出什么结论？

利用互异特征值定理。

解答

答案

快速检查

几何重数会否大过代数重数？

用重数不等式回答。

解答

答案

练习

快速检查

求 $\begin{bmatrix}0&1\\-2&3\end{bmatrix}$ 的特征多项式，并列出其特征值。

先算 $\det(A-xI)$ ，再因式分解。

解答

引导解答

快速检查

一个 $4\times4$ 矩阵有四个互异特征值。若从每个特征值各选一个特征向量，这四个向量张成空间的维数是多少？

利用互异特征值下的线性无关性。

解答

引导解答

快速检查

若 $p_A(x)=x^3-6x^2+11x-6$ ，Cayley-Hamilton 会给出什么矩阵恒等式？

把未定元 x 改成矩阵 $A$ 。

解答

8.3 特征多项式与对角化测试

MATH1030：线性代数 I

特征多项式

特征多项式

特征值正好就是特征多项式的根

特征多项式的基本形状

第一批例子

一个 2×2 特征多项式

一个重根例子

代数重数与几何重数

代数重数与几何重数

重数不等式

重根，但特征空间太小

互异特征值会强迫线性无关

互异特征值所对应的特征向量必线性无关

互异特征值的数目上界

互异特征值测试可对角化

更精确的可对角化判准

特征空间维数总和判准

特征值重复，但仍然可对角化

Cayley-Hamilton 定理给出一条多项式恒等式

Cayley-Hamilton 定理

一条小型 Cayley-Hamilton 恒等式

常见错误

重复特征值不等于“一定不可对角化”

快速检查

[2005]\begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix}[20​05​] 的特征多项式是什么？

答案

若一个 n×nn\times nn×n 矩阵有 n 个互异特征值，你可以立刻得出什么结论？

答案

几何重数会否大过代数重数？

答案

练习

求 [01−23]\begin{bmatrix}0&1\\-2&3\end{bmatrix}[0−2​13​] 的特征多项式，并列出其特征值。

引导解答

一个 4×44\times44×4 矩阵有四个互异特征值。若从每个特征值各选一个特征向量，这四个向量张成空间的维数是多少？

引导解答

若 pA(x)=x3−6x2+11x−6p_A(x)=x^3-6x^2+11x-6pA​(x)=x3−6x2+11x−6，Cayley-Hamilton 会给出什么矩阵恒等式？

引导解答

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$\begin{bmatrix}2&0\\0&5\end{bmatrix}$ 的特征多项式是什么？

若一个 $n\times n$ 矩阵有 `n` 个互异特征值，你可以立刻得出什么结论？

求 $\begin{bmatrix}0&1\\-2&3\end{bmatrix}$ 的特征多项式，并列出其特征值。

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