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6.3嵌入式互动预计阅读时间: 10 分钟

6.3 线性组合与张成

把张成视为一个精确的输出集合，将它与线性系统连起来，并学会判断一个向量能否由指定向量组合而成。

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MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

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章节 1方程组1 节
1.11.1 方程与解集
章节 2矩阵与消元4 节
2.12.1 矩阵基础2.22.2 增广矩阵与行变换2.32.3 高斯消元与最简行阶梯形2.42.4 解集的种类
章节 3矩阵代数2 节
3.13.1 矩阵乘法与单位矩阵3.23.2 转置与特殊矩阵
章节 4解的结构1 节
4.14.1 齐次方程组与零空间
章节 5可逆性1 节
5.15.1 可逆矩阵
章节 6向量空间6 节
6.16.1 向量空间6.26.2 子空间6.36.3 线性组合与张成当前小节6.46.4 线性相依与线性无关6.56.5 基底与维数6.66.6 列空间、行空间与秩
章节 7行列式3 节
7.17.1 行列式与余因子展开7.27.2 行变换、乘积与可逆性7.37.3 转置、列变换与克拉默法则
章节 8特征值与对角化3 节
8.18.1 特征值、特征向量与特征空间8.28.2 对角化与相似8.38.3 特征多项式与对角化测试
章节 9内积与正交性4 节
9.19.1 内积、范数与夹角9.29.2 正交集与标准正交基9.39.3 Gram-Schmidt 正交化9.49.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式

一旦向量空间的定义确立，下一个问题便不只是“这些运算有没有意义”，而是：

若你手上有一列向量，究竟可以用加法与数乘造出多少新向量？

这正是线性组合与张成要回答的问题。

本节十分关键，因为它把“这些向量会生成一条线、生成一个平面”之类的几何语言， 转化为精确的代数陈述；同时也把向量空间语言重新接回线性系统。

线性组合是最基本的构造单位

定义

线性组合

设 u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n 是向量空间 VV 里的向量，而 α1,α2,…,αn∈R\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in R。则

α1u1+α2u2+⋯+αnun\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n

称为 u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n 的线性组合。

这个定义的重点，在于系数完全不受限制。它们可以是正数、负数、分数、无理数， 也可以是 0。

正因如此，线性组合才有足够的表达能力。

例题

几种典型的线性组合

若 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 是向量，则以下各式都是它们的线性组合：

23u1−2 u2+πun,23u_1 - \sqrt{2}\,u_2 + \pi u_n,0=0u1+0u2+⋯+0un,0 = 0u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n,

以及

u1=1u1+0u2+⋯+0un.u_1 = 1u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n.

源讲义还特别指出一个封闭事实：若 v 与 w 本身都是 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 的线性组合，则任何 cv+dwcv + dw 仍然是 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 的线性组合。

所以，线性组合对“由线性组合再做线性组合”这件事本身是封闭的。

是否属于某个张成，其实是可解性问题

在实际计算里，问题“b 是否是 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 的线性组合”通常不是靠 肉眼判断，而是靠解一个线性系统。

定理

线性组合与线性系统

设 u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n 与 b 都是 RmR^m 中的向量，并令

A=[u1u2⋯un].A = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix}.

则 b 能写成 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 的线性组合，当且仅当线性系统

Ax=bAx = b

有解。

这个定理非常有用，因为它告诉你：一个“生成”问题，可以完全化成一个矩阵方程 的一致性问题。

例题

检查一个向量是否是线性组合

令

u1=[1−2−1],u2=[3−54].u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad u_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 4 \end{bmatrix}.

再考虑向量

w=[2−6−16].w = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.

要问 w 是否为 u1u_1 与 u2u_2 的线性组合，就是要问是否存在数 c1,c2c_1, c_2 使得

c1u1+c2u2=w.c_1u_1 + c_2u_2 = w.

等价地，

[13−2−5−14][c1c2]=[2−6−16].\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.

把这个系统做行化简，可得它是一致的，而且解为

c1=8,c2=−2.c_1 = 8, \qquad c_2 = -2.

因此

w=8u1−2u2.w = 8u_1 - 2u_2.

所以 w 属于 u1u_1 与 u2u_2 的张成。

同一道理也可以用来证明某向量不属于张成：若对应系统不一致，便表示找不 到系数，自然也就不在张成里。

张成是所有可造出的结果

定义

张成

设 u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n 是向量空间 VV 里的向量。它们的张成定义为所 有线性组合组成的集合：

Span⁡{u1,u2,…,un}={α1u1+α2u2+⋯+αnun∣αi∈R}.\operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_n\} = \{\alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \cdots + \alpha_nu_n \mid \alpha_i \in R\}.

因此，张成不是单个向量，而是由这些向量可造出的整个向量集合。

也正因如此，张成常被读作“由这组向量生成的子空间”。

R3R^3 里的标准几何例子

例题

张成在 R3R^3 里看起来像什么

令

e1=[100],e2=[010],e3=[001].e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

则 Span⁡{e1,e2}\operatorname{Span}\{e_1, e_2\} 中的每个向量都可写成

αe1+βe2=[αβ0].\alpha e_1 + \beta e_2 = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}.

因此

Span⁡{e1,e2}\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}

恰好就是 R3R^3 里的 x1x2x_1x_2 平面。

若再把 e3e_3 加入，则 R3R^3 中任意向量都可写成

α1e1+α2e2+α3e3,\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3,

故

Span⁡{e1,e2,e3}=R3.\operatorname{Span}\{e_1, e_2, e_3\} = R^3.

这个例子很重要，因为它说明张成可以描述：

  • 一条直线；
  • 一个平面；
  • 甚至整个空间；

具体取决于你起始的向量列表。

为什么张成一定是子空间

张成并不是某个随意的子集合，它其实是由该组向量生成出来的最自然向量空间对象。

定理

任何向量组的张成都必定是子空间

若 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 是向量空间 VV 里的向量，则

Span⁡{u1,…,un}\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}

是 VV 的一个子空间。

证明

为什么张成是子空间

这个定理是张成如此重要的主要原因之一：它给了我们一个系统方法，由一组向量 直接构造子空间。

把交互模块当成辅助图像

下面的张成探索器只有在上面的代数意义先弄清楚之后才真正有用。它让你改变系 数，观察向量如何在生成集合里移动，但它应被视为前述定义与定理的辅助图像， 而不是主要内容。

边读边试

由张成组合出一个向量

互动探索让你改变系数，并看着结果向量如何在张成里移动。

u

(1, 0)

v

(0, 1)

α

β

结果

αu + βv = (1, 0)

每个输出向量都是由水平与垂直方向组合而成。

常见错误

常见错误

张成不是‘正倍数集合’

线性组合里的系数可以是任何实数，所以负数与 0 都同样合法。若只允许正系数， 那便不是本节所说的张成。

常见错误

要证明属于张成，就必须给出系数

只说一个向量“看起来差不多”并不够。要证明某向量属于一个张成，你必须明确给 出系数，或把关系转成线性系统，证明它是一致的。

快速检查

快速检查

任何有限向量列表的张成都一定包含零向量吗？

直接回到线性组合的定义回答。

解答

答案

快速检查

为什么 Span⁡{e1,e2}\operatorname{Span}\{e_1, e_2\} 在 R3R^3 里会包含 (2,−1,0)(2, -1, 0)？

请把该向量写成 e1e_1 与 e2e_2 的线性组合。

解答

答案

练习

快速检查

为什么生成列表中的每一个向量 uiu_i 都一定属于 Span⁡{u1,…,un}\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}？

请用系数直接说明。

解答

引导解答

快速检查

为什么定理 b∈Span⁡{u1,…,un}b \in \operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\} 当且仅当 Ax=bAx = b 可解，在计算上如此重要？

请用它带来的计算方法回答。

解答

引导解答

相关笔记

先读 6.2 子空间 可回顾本节用到 的子空间判据；接着再读 6.4 线性相关与线性无关， 看张成如何与“生成列表有没有冗余”这个问题连在一起。

先备知识

6.1

6.1 向量空间

本单元重点词汇

本系列更多笔记

上一节

6.2 子空间

下一节

6.4 线性相依与线性无关