6.6 列空间、行空间与秩

这一节是矩阵语言和向量空间语言真正接上的地方。固定一个矩阵以后， 自然会出现两个子空间：

• 由各列向量张成的子空间；
• 由各行向量张成的子空间。

这两个定义不是形式上的装饰，而是直接回答下面的问题：

• 对于方程组 $Ax = b$，哪些右端向量 b 真的可能出现？
• 各行里面实际上保存了多少独立的线性信息？
• 把冗余完全删掉以后，还剩下多少个真正独立的方向？

答案就叫做矩阵的 列空间、行空间 和 秩。

列空间：矩阵能够输出什么？

设 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，把它的列写成

$$A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}.$$

这个定义最有用的读法，是通过矩阵乘法理解。 如果 $x = (x_1, \ldots, x_n)^t$，那么

$$Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n.$$

所以任何形如 Ax 的向量，都是各列向量的线性组合。 反过来说，任何由各列向量组成的线性组合，也都可以写成某个 Ax。

这就是列空间为什么重要。它精确说明了哪些右端向量能够由矩阵产生出来。

行空间：各行携带了什么线性信息？

如果 $A$ 的各行是 $r_1, r_2, \ldots, r_m$，并把每一行都看成 $R^n$ 里的 row vector，那么我们定义第二个子空间。

一般情况下，这两个空间住在不同的 ambient space 里面：

• C(A) 属于 $R^m$，因为每一列有 m 个分量；
• R(A) 属于 $R^n$，因为每一行有 n 个分量。

就算 $A$ 是方阵，也不应该把列空间和行空间混为一谈。它们由不同的向量生成， 回答的也是不同问题。

它和转置之间还有一个很干净的关系：

$$R(A) = C(A^t).$$

所以关于行空间的陈述，经常可以翻译成关于转置矩阵列空间的陈述。

行化简时，到底保留了什么？

最简行阶梯形是计算这个主题最重要的工具，但一定要小心使用。

为什么这个区别这么重要？

• 行变换会把新的一行写成旧行的线性组合，所以行空间保持不变；
• 行变换是整行一起动，不是对各列分别处理，所以实际的列空间通常会改变。

这就带出了学生常常先背下来、却未必真正理解的一条规则：

主元位置是从 RREF 里读出来的，但列空间的基底向量必须回到原矩阵里面去取。

秩：把独立方向数清楚

列空间的维数叫做 column rank， 行空间的维数叫做 row rank。 线性代数的一条核心定理告诉我们，这两个数其实相等。

当你把矩阵行化简到 RREF 以后，主元列的个数正好就是秩。 所以秩衡量的是：去掉所有冗余以后，还保留了多少个独立方向。

例题：一次行化简读出列空间、行空间和秩

为什么这个基底规则成立？

设 $R$ 是 $A$ 的 RREF。

• $R$ 的主元列指出哪些列位置是独立的；
• 行变换会保留各列之间的线性关系；
• 因而原矩阵 $A$ 中对应位置的列依然独立，并且依然张成整个 C(A)。

对行空间来说更直接：因为行变换本身保留行空间，所以 $R$ 的非零行已经构成 R(A) 的一组基底。

常见错误

另一个常见错误，是因为列空间和行空间维数相同，就说它们是同一个子空间。 维数相同只表示独立方向的个数相同，不表示两个子空间本身相等。

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练习

先读这些章节

这一节特别依赖 2.3 高斯消元与 RREF、 3.2 转置与特殊矩阵 和 6.5 基与维数。