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6.2嵌入式互动预计阅读时间: 13 分钟

6.2 子空间

仔细使用子空间测试，证明最基本的结构结论，并掌握线性代数里反复出现的矩阵例子与方程例子。

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MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

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章节 1方程组1 节
1.11.1 方程与解集
章节 2矩阵与消元4 节
2.12.1 矩阵基础2.22.2 增广矩阵与行变换2.32.3 高斯消元与最简行阶梯形2.42.4 解集的种类
章节 3矩阵代数2 节
3.13.1 矩阵乘法与单位矩阵3.23.2 转置与特殊矩阵
章节 4解的结构1 节
4.14.1 齐次方程组与零空间
章节 5可逆性1 节
5.15.1 可逆矩阵
章节 6向量空间6 节
6.16.1 向量空间6.26.2 子空间当前小节6.36.3 线性组合与张成6.46.4 线性相依与线性无关6.56.5 基底与维数6.66.6 列空间、行空间与秩
章节 7行列式3 节
7.17.1 行列式与余因子展开7.27.2 行变换、乘积与可逆性7.37.3 转置、列变换与克拉默法则
章节 8特征值与对角化3 节
8.18.1 特征值、特征向量与特征空间8.28.2 对角化与相似8.38.3 特征多项式与对角化测试
章节 9内积与正交性4 节
9.19.1 内积、范数与夹角9.29.2 正交集与标准正交基9.39.3 Gram-Schmidt 正交化9.49.4 Cauchy-Schwarz 与三角不等式

子空间一出现，就提醒我们很多线性问题其实不需要整个外层向量空间。 齐次方程组的解集、对称矩阵的集合、在某一点取值为 0 的多项式集合， 全部都是大向量空间里的较小集合。

本节要处理的问题是：什么时候这样的子集合仍然保留完整的线性结构？ 子空间不是“看上去像一条线”那么简单，而是指在继承来的加法和数乘 之下，所有向量空间公理仍然成立的集合。

为什么只需要检查少数公理

设 VV 已经是一个向量空间，而 W⊆VW \subseteq V。如果我们在 WW 上使用 的仍然是 VV 原本的加法与数乘，那么交换律、结合律和分配律并不需要 从头再证一次，因为这些恒等式在 VV 里本来就成立。

真正要问的是：

  • WW 里两个向量相加后，会不会仍留在 WW？
  • WW 里的向量乘上标量后，会不会仍留在 WW？
  • WW 有没有包含向量空间结构一定要有的向量，尤其是零向量？

所以子空间测试本质上是一个封闭性测试。

定义

子空间定义

设 VV 是一个向量空间。若子集 W⊆VW \subseteq V 满足：

  1. WW 非空；
  2. 对所有 u,v∈Wu, v \in W，都有 u+v∈Wu + v \in W；
  3. 对所有 u∈Wu \in W 和所有 α∈R\alpha \in R，都有 αu∈W\alpha u \in W；

那么 WW 称为 VV 的一个 子空间。

教学笔记也强调另一个常用的等价形式，很多证明用起来更直接。

定理

等价的子空间测试

设 VV 是向量空间，W⊆VW \subseteq V。则 WW 是 VV 的子空间，当且仅当：

  1. 0∈W0 \in W；

  2. 对任意 u,v∈Wu, v \in W 及任意 α,β∈R\alpha, \beta \in R，向量

    αu+βv\alpha u + \beta v

    仍然属于 WW。

证明

为什么这个等价形式成立

由方程定义的标准例子

主笔记最先列出的，是由简单线性方程描述的集合。这些例子重要，因为 它们清楚说明“过原点”和“齐次”在本章里到底代表什么。

例题

R2R^2 中一条过原点的直线

设

W={(x,y)∈R2:y=2x}.W = \left\{(x, y) \in R^2 : y = 2x\right\}.

要证明 WW 是 R2R^2 的子空间，只需逐条检查定义。

  1. WW 非空，因为 (0, 0) 满足 0=2⋅00 = 2 \cdot 0。

  2. 若 (x1,y1),(x2,y2)∈W(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in W，则 y1=2x1y_1 = 2x_1、y2=2x2y_2 = 2x_2。 因而

    y1+y2=2(x1+x2),y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2),

    所以 (x1+x2,y1+y2)∈W(x_1 + x_2, y_1 + y_2) \in W。

  3. 若 (x,y)∈W(x, y) \in W 且 α∈R\alpha \in R，则 y=2xy = 2x，因此

    αy=2(αx),\alpha y = 2(\alpha x),

    所以 (αx,αy)∈W(\alpha x, \alpha y) \in W。

故 WW 是 R2R^2 的子空间。

几何图像与代数结论完全一致：这是一条过原点的直线。所谓“过原点”不 是装饰性描述，而是零向量属于集合的几何痕迹。

例题

由一条齐次线性方程切出的平面

再设

W={(x,y,z)∈R3:x+2y+3z=0}.W = \left\{(x, y, z) \in R^3 : x + 2y + 3z = 0\right\}.

同样只需检查三件事。

  1. WW 非空，因为 (0, 0, 0) 满足方程。

  2. 若 u=(u1,u2,u3)u = (u_1, u_2, u_3) 与 v=(v1,v2,v3)v = (v_1, v_2, v_3) 在 WW 中，则

    u1+2u2+3u3=0,v1+2v2+3v3=0.u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0, \qquad v_1 + 2v_2 + 3v_3 = 0.

    相加后得到

    (u1+v1)+2(u2+v2)+3(u3+v3)=0,(u_1 + v_1) + 2(u_2 + v_2) + 3(u_3 + v_3) = 0,

    因此 u+v∈Wu + v \in W。

  3. 若 u∈Wu \in W 且 α∈R\alpha \in R，则

    αu1+2αu2+3αu3=α(u1+2u2+3u3)=α⋅0=0,\alpha u_1 + 2\alpha u_2 + 3\alpha u_3 = \alpha(u_1 + 2u_2 + 3u_3) = \alpha \cdot 0 = 0,

    所以 αu∈W\alpha u \in W。

于是 WW 是 R3R^3 的子空间。

这个例子是“由齐次线性方程定义的集合”的原型。右边的常数是 0， 正是封闭性得以成立的原因。

做过几个手算例子后，再用下面的检查器比较真正的子空间和一些很像 但其实失败的集合。

边读边试

做一次子空间测试

互动检查会比较常见子集，并指出子空间测试到底在哪一步通过或失败。

这个集合通过完整的子空间测试。

包含 0

通过

(0, 0) 满足 y = 2x。

对加法封闭

通过

把直线上的两点相加，仍会留在同一条直线上。

对数乘封闭

通过

把直线上的点做数乘，仍会满足 y = 2x。

子空间测试的直接推论

一旦知道 WW 是子空间，若干基本结论就立刻成立。

定理

每个子空间都包含 0 与加法逆元

设 WW 是向量空间 VV 的子空间。则：

  1. 0∈W0 \in W；
  2. 若 u∈Wu \in W，则 −u∈W-u \in W。

证明

这些基本结论的证明

于是两个极端例子也自然成立：

  • {0} 是任何向量空间的 最小 子空间；
  • VV 本身是 VV 的 最大 子空间。

零空间一定是子空间

矩阵理论里第一个重要的子空间家族，就是零空间。

定理

矩阵的零空间是子空间

设 AA 是一个 m×nm \times n 矩阵，并令

N(A)={x∈Rn:Ax=0}.N(A) = \left\{x \in R^n : Ax = 0\right\}.

则 N(A) 是 RnR^n 的一个子空间。

证明

为什么 N(A) 是子空间

这个定理说明“零空间”不是方便的名字而已。齐次方程组的解集真的是 一个向量空间。

例题

一条齐次方程其实就是某个零空间

令

A=[123].A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.

则

N(A)={[xyz]:x+2y+3z=0}.N(A) = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} : x + 2y + 3z = 0 \right\}.

所以刚才那个平面，其实正是某个矩阵的零空间。由

x=−2y−3zx = -2y - 3z

可得零空间里任意向量都可写成

[xyz]=y[−210]+z[−301].\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

因此这个子空间是一个过原点、由两个向量生成的平面。

一个更广的模式：由矩阵条件保留下来的子空间

习题纸还给了一个比零空间更一般的例子。它不是要求 Ax=0Ax = 0，而是 要求 Ax 落在一个已知的子空间里。

例题

经矩阵乘法拉回来的子空间

设 AA 是一个 4×64 \times 6 矩阵，VV 是 R4R^4 的子空间，并定义

W={x∈R6:Ax∈V}.W = \left\{x \in R^6 : Ax \in V\right\}.

则 WW 是 R6R^6 的子空间。

证明完全按照子空间测试进行：

  1. 0∈W0 \in W，因为 A0=0A0 = 0，而 0∈V0 \in V；

  2. 若 x,y∈Wx, y \in W，则 Ax,Ay∈VAx, Ay \in V，因此

    A(x+y)=Ax+Ay∈V,A(x + y) = Ax + Ay \in V,

    所以 x+y∈Wx + y \in W；

  3. 若 x∈Wx \in W 且 α∈R\alpha \in R，则 Ax∈VAx \in V，故

    A(αx)=α(Ax)∈V,A(\alpha x) = \alpha(Ax) \in V,

    所以 αx∈W\alpha x \in W。

零空间其实就是这个例子的特殊情形，只要把 VV 取成 {0} 即可。

这个观点值得记住：很多子空间最自然的描述，不是逐个元素列出来，而 是写成一个会被线性运算保留下来的条件。

子集最常见的失败方式

子空间测试虽然短，但非常严格。一个集合可以在多个地方失败。

常见错误

包含 0 是必要条件，但不是充分条件

集合

{(x,y)∈R2:x+y=1}\left\{(x, y) \in R^2 : x + y = 1\right\}

不是子空间，因为它不包含 (0, 0)。

但“不包含 0”不是唯一危险。习题纸还给出一个二次条件的例子

S={x∈R4:xTCx=0},S = \left\{x \in R^4 : x^T C x = 0\right\},

它可以包含 0，却仍然未必是子空间。原因在于若 w=u+vw = u + v，则

wTCw=uTCu+vTCv+2uTCv,w^T C w = u^T C u + v^T C v + 2u^T C v,

其中交叉项 2uTCv2u^T C v 未必消失，所以加法封闭性可能失败。可见一个 集合即使看起来对称、也包含 0，仍然可能不是子空间。

实际做题时，最稳妥的习惯是：

  1. 先检查 0；
  2. 再检查加法封闭；
  3. 最后检查数乘封闭。

不要只靠图像直觉下结论。

快速检查

快速检查

为什么 E={f(x)∈Pn:f(1)=0}E = \{f(x) \in P_n : f(1) = 0\} 是 PnP_n 的子空间？

把 x=1x = 1 时的函数值，当作需要在子空间测试下被保留下来的量。

解答

解答

快速检查

设 W={X∈Mp,p(R):AX−XA=Op×p}W = \{X \in M_{p,p}(R) : AX - XA = O_{p \times p}\}。为什么这个集合形成子空间？

把定义方程 AX−XA=Op×pAX - XA = O_{p \times p} 当成 Ax=0Ax = 0 的矩阵版去处理。

解答

解答

快速检查

为什么 {(x,y)∈R2:x+y=1}\{(x, y) \in R^2 : x + y = 1\} 不是子空间，虽然它仍然是一条直线？

不要画图，直接用子空间测试回答。

解答

解答

先读这些内容

本节建立在 6.1 向量空间 的公理， 以及 4.1 齐次方程组与零空间 对 Ax=0Ax = 0 的解释之上。

下一节

下一节 6.3 线性组合与张成 会把子空间当成生成过程的自然输出继续处理。

先备知识

6.1

6.1 向量空间

本单元重点词汇

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