6.5 基与维数

基是这一章收束起来的地方。前面的笔记教你怎样由其他向量拼出一个向 量、怎样检查一个集合是否子空间、又怎样辨认线性依赖。这一节把那几个 想法合在一起，集中回答一个问题：

什么时候，我们手上的向量刚好足够描述整个空间，而且没有保留任何多余 方向？

先用直觉理解：方向够用，但没有累赘

如果一组向量能张成一个空间，就表示它提供了足够多的方向，让你能拼出 那个空间里的每个向量。

如果它同时线性独立，就表示这些方向没有浪费。集合里没有任何一个向量 其实早已能由其余向量组合出来。

所以，基就是一个“刚刚好”的状态：

• 向量够多，可以到达整个空间；
• 但又不会多到出现冗余方向。

这正是基有用的原因。选定基之后，空间里每个向量都可以用那组基向量来 描述。

这两个条件分工很清楚：

• 张成条件说明这组向量“够大”；
• 独立条件说明这组向量“不多余”。

只要忘记其中一个条件，就很容易把不是基的集合误判成基。

先停一停，改变系数，看看同一组生成向量能带你到哪些位置。

标准基是最典型的例子

学生最先接触到的基，通常是 $R^3$ 的标准基：

$$e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

这三个向量的重要之处，在于它们各自只负责一个坐标方向。

这个例子也说明了基坐标有多实用：一旦基固定，系数 a、b、c 就完整地告诉你怎样重建原来的向量。

为什么基里向量的个数这么重要

讲义特别强调一个说起来简单、用起来却非常重要的事实：

正因如此，维数才是一个定义良好的概念。否则，“基里有多少个向量”这件 事会随着你选哪一组基而改变，维数就不能成为一个稳定量。

维数就是独立方向的数目

维数量度的是：这个空间究竟有多少个真正独立的方向。

• $dim(R^m) = m$
• $dim(M_{mn}) = mn$
• $dim(P_n) = n + 1$

零空间是特别情况：

$$dim(\{0\}) = 0.$$

这很合理，因为零空间里根本没有任何非零方向。

基不一定长得像标准基

基不必是标准坐标向量。只要一组向量能张成该空间，而且保持线性独立， 它就可以成为同一个空间的另一组基。

由此可见，维数不是在数“向量有多少个坐标”，而是在数“这个空间本身有 多少个独立方向”。

维数如何变成捷径

一旦你知道某个空间的维数，很多基问题就会变得短得多。

若 $dim(V) = m$，那么：

• $V$ 中任何 m 个线性独立向量都会自动形成基；
• $V$ 中任何 m 个能张成 $V$ 的向量都会自动形成基；
• 少于 m 个向量不可能张成 $V$；
• 多于 m 个向量不可能全部保持线性独立。

这就是维数的威力。当向量数目已经和维数吻合时，你往往只需完成一半检 查，就能推出整个结论。

先用几个典型例子，重新感受什么叫做独立和冗余。

做基题时的实用次序

当你被问到某组向量是否为基，可以按以下次序思考：

1. 先弄清楚你要张成的是哪个空间；
2. 再数一数你手上有多少个向量；
3. 检查线性独立，或者检查张成；
4. 若数目刚好等于维数，就用维数把另一半结论补完。

例如在 $R^3$ 里，只要你已证明三个向量线性独立，就不必再做一轮冗长 的张成计算，它们已经自动是一组基。

常见错误

另一个常见错误，是检查完张成就停下来。能张成整个空间，并不代表那组 向量已经没有冗余。

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练习

先备链接

这一节建立在 6.4 线性依赖与线性独立 和 6.3 线性组合与张成 之上。