邏輯先從已經足夠完整、可以判斷真假的陳述開始。這個分別很重要： 一旦句子還未封閉，就不可以當作命題處理。
命題與真假值
定義
命題
命題是一個有確定真假值的陳述。它不是真，就是假，沒有第三種情況。
這個定義的目的不是令邏輯變得抽象，而是分清楚哪些句子已經可以檢驗， 哪些句子還未完整。
例子：
- 是命題。
每個偶數都可以被 2 整除是命題。請打開門。不是命題，因為它是命令。- 若未指定
x， 還未是命題。
常見錯誤
含有自由變量的公式不會自動變成命題
如果句子的真假仍然依賴未指定的變量，那麼它仍然是開放句，不是完整陳述。 要先賦值，或者之後用量詞綁定它。
例題
判斷哪些句子是命題
考慮以下三句：
7是質數。- 。
請交功課。
第 1 句是命題，而且是真。第 2 句不是命題，因為要看 x 取甚麼值。
第 3 句不是命題，因為它是請求，不是主張。
解答
為甚麼要分清楚
布林字母表
課程反覆用到五個連接詞：
| 符號 | 讀法 | 核心意思 |
| --- | --- | --- |
| | 非 | 將真假值取反 |
| | 且 | 只有兩邊都真先真 |
| | 或 | 只要至少一邊真就真 |
| | 若 ，則 | 只有 真而 假時為假 |
| P ↔ Q | 當且僅當 | 兩邊真假一致時才真 |
這些不是純粹的口語縮寫，而是邏輯語言的基本符號，用來拼出更複雜的陳述。
運算次序亦都固定：
- 同
- 同
↔
如果仍然有歧義，就要加括號。
例題
先解析，再閱讀
公式 應該讀成
也就是話：或者 為假而 為真，或者 為真。
如果你想表達其他意思，就一定要明確加括號。
解答
為甚麼括號不是裝飾
真值表與邏輯等價
當你知道各個命題的真假值之後，就可以計算複合公式的真假。真值表就是用來記錄這件事。
定理
常用等價式
以下幾條等價式是基本工具，應該盡量熟記：
這些不是哲學命題，而是真值表恒等式。
例題
用真值表檢查蘊含
只會在一種情況下為假： 真而 假。其餘情況都為真。
| | | | | --- | --- | --- | | | | | | | | | | | | | | | | |
所以 不是話 同 都真，而是排除咗「前件真、後件假」這種情況。
解答
這點好重要
推理規則
課程之中會反覆用到幾種有效推理模式。
定理
常見推理模式
如果 同 都真，那麼 一定真。這個叫 modus ponens。
如果 同 都真，那麼 一定真。這個叫 modus tollens。
如果 同 都真，那麼 都真。這個叫 hypothetical syllogism。
如果 同 都真，那麼 一定真。這個叫 disjunctive syllogism。
這些模式之所以重要，是因為它們似乎合法運算：前提真，結論就一定真。
例題
一條有效的推理鏈
假設你知道
你可以先由第一同第三句推出 ，再由第二句推出 。
所以結論 由前提邏輯上跟得出。
解答
如何辨認這類推理
常見錯誤
不好混淆有效同無效模式
由 同 ，你不可以推出 。這個謬誤叫 affirming the consequent。
由 同 ，你不可以推出 。這個謬誤叫 denying the antecedent。
快速檢查
快速檢查
以下哪些是命題：、請打開窗戶。、？
檢查每一句在原本寫法下是否已經有確定真假值。
解答
答案
快速檢查
根據標準次序， 要加甚麼括號？
記住 最先，然後是 同 。
解答
答案
快速檢查
同 、，邊個等價？
看蘊含的真假條件。
解答
答案
快速檢查
推理 、，所以 有效嗎？
試想 其實是假的情況。
解答
答案
嵌入式檢查
用互動表試驗你自己寫出來的公式。
邊讀邊試
跟著看一張真值表
互動工具讓你切換公式，並觀察每一列如何影響最後的真假。
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
先讀這一頁
如果你想看量詞版本，請讀 1.3 量詞與否定。