3.3 由等價類構造整數

自然數不足以處理所有代數問題。好簡單的方程

$$1 = x + 2$$

在 $N$ 之中就沒有解。若果我們想令減法可以有系統那麼做，就要建立一個比自然數 更大的數系。

嚴格的構造不是單靠直覺去「引入負數」，而是由我們已經理解的對象，即自然數有序對， 去形式化地構造整數。

指導思想

一個對子 (a,b) 可以視為形式差值

$$a-b.$$

照住這個觀點，許多不同對子都可能代表同一個整數。例如

$$(3,1), \quad (5,3), \quad (8,6)$$

都自然地指向同一個差值 2。

所以整數不應該是某一個有序對本身，而應該是「所有代表同一差值的對子」所形成 的等價類。

$N^2$ 上的關係

條件 $a+d=b+c$ 正好反映咗 (a,b) 同 (c,d) 代表同一個形式差值：

$$a-b=c-d.$$

將上式移項，就是 $a+d=b+c$。

為甚麼這條關係是對的

這個證明不算難，但值得理解，因為它解釋咗為甚麼 quotient construction 行得通。

整數而家究竟是甚麼

因此，一個整數不是一個對子，而是一整個等價類。

熟悉的整數就在這個構造之中重新出現：

• [(0,0)] 表現得像 0；
• [(1,0)] 表現得像 1；
• [(0,1)] 表現得像 $-1$；
• 一般而言，[(n,0)] 對應我們熟悉的自然數 n。

如何把 $N$ 嵌入 $Z$

自然數並沒有消失，而是以一種新方式出現在整數之中。

這個現象顯示 quotient construction 不是摧毀舊數系，而是保留住一個可識別 的拷貝，再把範圍擴大。

正、負與零

需要強調的是，正負零不是貼在某一個代表元身上，而是整個等價類的性質。

• 若一個類有代表元 (a,b) 滿足 $a>b$，就視為 正；
• 若有代表元滿足 $a<b$，就視為 負；
• 若有代表元滿足 $a=b$，就視為 零。

因為這些性質不可以隨代表元改變，所以亦要證明符號是 well-defined。

等價類上的運算

要令商集真正成為數系，還需要定義運算。加法定義為

$$[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].$$

這個定義同形式差值的直覺完全一致：

$$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d).$$

之後關鍵一步就是檢查這類定義是 well-defined，亦即不會因為你換咗代表元 而改變答案。

一個具體計算

常見錯誤

快問快答

練習

建議先讀

這一節依賴 2.2 函數與關係 之中的 等價關係語言，並且會接到 3.4 有理數與良定運算。