6.4-6.7 區間、Cantor 集、稠密性與良序

第 6 章前面已經用雙射、單射、滿射、可數性和選擇公理來比較集合大小。本章最後幾節要強調一件事：

「大」在數學裡沒有單一意思。

一個區間可以在長度上很短，但在基數上和 $R$ 一樣大。Cantor 集可以由 [0,1] 移走總長度為 1 的開區間後留下，卻仍然有和實數線一樣多的點。有理數是可數的，但在 $R$ 中稠密。自然數在通常次序下是良序的；整數和正有理數在通常次序下則不是。

這些說法並不矛盾。它們是在回答不同結構下的不同問題。

閉區間與半閉區間

前面的筆記已經使用過 (a,b) 這類開區間。現在加入閉區間。

定義

閉區間

設 $a,b\in R$ 且 $a\le b$ 。由 a 到 b 的 閉區間 定義為

[a,b]=\{x\in R\mid a\le x\le b\}.

端點是否包括在內很重要：

(a,b) 不包括兩個端點；
[a,b] 包括兩個端點；
[a,b) 包括 a 但不包括 b；
(a,b] 不包括 a 但包括 b；
$[a,\infty)$ 與 $(-\infty,b]$ 亦按同樣方式理解。

這個端點約定會立即出現在 Cantor 集的構造裡：每一步保留下來的是閉區間，所以端點不會被移走。

常見錯誤

不要把區間括號視為裝飾

(0,1) 和 [0,1] 作為 $R$ 的子集並不相同。它們有相與基數，但不是同一個集合。證明時要先分清楚：你是在證明集合相等、基數相等，還是關於長度的命題。

區間與基數

一個重要事實是 (0,1) 和 $R$ 有相與基數。

定理

區間 `(0,1)` 的基數等於 `|R|`

存在一個雙射

f:(0,1)\to R,\qquad f(x)=\frac{2x-1}{x(x-1)}.

驗證這個函數確實是雙射，是一個有用練習。

這個命題刻意打破直覺。(0,1) 看起來有限而且很短， $R$ 則向左右兩邊無界。但基數不量度長度；它只問元素能否一一配對。

例題

有界性不控制基數

開區間 (0,1) 在通常距離下有界，而 $R$ 無界。但上面的函數給出兩者之間的一一對應。

因此

|(0,1)|=|R|

的意思不是它們有相同長度，而是它們之間存在雙射。

一個有用練習是證明所有區間都有相與基數。對非退化的有限開區間，第一步通常是用線性變換

x\longmapsto \frac{x-a}{b-a}

把 (a,b) 雙射到 (0,1)。半無限和無限區間則可再用類似上面命題的顯式雙射與 (0,1) 比較。

這裡的重點是：區間長度和區間基數是兩種不同的量度。

Cantor 集的構造

Cantor 集用來把這個區別推得更遠。

先令

C_0=[0,1].

之後每一步，都從上一階段留下的每一個區間移走開的中間三分之一。

第 0 階段：
$C_0=[0,1].$
第 1 階段：移走 (1/3,2/3)，留下
$C_1=\left[0,\frac13\right]\cup \left[\frac23,1\right].$
第 2 階段：從 $C_1$ 的兩段區間各自移走中間三分之一，留下
$C_2= \left[0,\frac19\right]\cup \left[\frac29,\frac13\right]\cup \left[\frac23,\frac79\right]\cup \left[\frac89,1\right].$
第 n 階段： $C_n$ 是 $2^n$ 個閉區間的聯集，每個閉區間長度為 (1/3)^n。

定義

Cantor 集

Cantor 集 定義為共同交集

C=\bigcap_{n=0}^{\infty} C_n.

這些集合是套疊的：

C_0\supset C_1\supset C_2\supset \cdots .

所以一個點屬於 $C$ ，意思是它在每一階段都沒有被移走。

例題

端點會留下來

第 1 階段移走的是開區間 (1/3,2/3)，所以 1/3 和 2/3 仍然留下。

後面每一階段也一樣，留下的是閉區間。因而像

0,\quad 1,\quad \frac13,\quad \frac23,\quad \frac19,\quad \frac29

這些在某階段作為端點出現的點，不會在那一階段被移走。

三進制展開與 $C$ 的成員

接著用三進制描述同一個集合。

每個 $x\in[0,1]$ 都可以寫成三進制展開

x=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_k}{3^k} =(0.a_1a_2a_3\ldots)_3, \qquad a_k\in\{0,1,2\}.

如同十進制，表示法不一定唯一。例如十進制有 0.999...=1，三進制有

(0.0222\ldots)_3=(0.1)_3.

這裏約定：可以選非終止展開時，就選非終止展開。按此約定：

第 1 階段移走的正是第一個三進制數字必須為 1 的數；
第 2 階段移走的是第二個三進制數字必須為 1 的數；
Cantor 集正是 [0,1] 中能用只含 0 和 2 的三進制展開表示的數。

定理

Cantor 集的三進制描述

在非終止三進制展開的約定下， $x\in[0,1]$ 屬於 $C$ 當且僅當它有三進制展開

x=(0.a_1a_2a_3\ldots)_3

且每個數字 $a_k$ 都是 0 或 2。

這個描述把幾何上的移除過程，改寫成一條數字規則：能活過所有階段，就是三進制展開永遠不用數字 1。

長度上的悖論感

構造過程移走很多區間。第 1 階段移走一個長度 1/3 的區間；第 2 階段移走兩個長度 1/9 的區間；第 n 階段移走

2^{n-1}

個區間，每個長度為

\left(\frac13\right)^n.

所以總移走長度是

L=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac13\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac23\right)^k = \frac{1/3}{1-2/3} =1.

原本 [0,1] 的長度也是 1。從長度角度看，Cantor 集似乎已經沒有長度剩下。但長度仍然不是基數。

Cantor 集的基數等於 `|R|`

可以證明 Cantor 集不只是非空，而且不可數，甚至和整條實數線有同樣基數。

定理

Cantor 集與 $R$ 有相與基數

令 $S$ 為所有無限二進制序列的集合：

(s_1,s_2,s_3,\ldots),\qquad s_k\in\{0,1\}.

定義

f:S\to C,\qquad f((s_1,s_2,s_3,\ldots)) = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2s_k}{3^k}.

這個函數把二進制序列送到一個三進制展開：若 $s_k=0$ ，第 k 位是 0；若 $s_k=1$ ，第 k 位是 2。因此其像必定落在 $C$ 裡。

這個映射是一個雙射。因為無限二進制序列的集合有基數 $|2^N|$ ，而這個基數等於 |R|，所以

|C|=|R|.

常見錯誤

零長度不代表可數

Cantor 集看起來像碎塵，因為每個尺度都有開區間被移走。但基數定理說明：它仍然有和實數線一樣多的點。長度和基數是不同量度。

觀察構造階段

下面的 stage viewer 只是輔助理解，不取代定義。用它來對照區間圖像、 $C_n$ 的公式，以及三進制數字規則。

Cantor set 構造的最初幾個階段

圖示。每一階段都從上一階段留下的每個區間中移除中間三分之一。

邊讀邊試

逐步查看 Cantor set 構造

這個工具顯示反覆移除中三分之一如何產生一個長度很小、但基數很大的集合。

Stage

C_0

剩餘區間

已移除長度

極限集合保留的正是可以只用三進制數字 0 與 2 表示的點。

實數線中的稠密性

下一節引入另一種「大」的觀念。

定義

$R$ 中的稠密子集

子集 $S\subset R$ 稱為稠密，若對每個 $r\in R$ 和每個 $\epsilon>0$ ，都存在 $s\in S$ 使得

|r-s|<\epsilon.

這個定義不問 $S$ 有多少元素。它問的是： $S$ 的元素能否任意精確地逼近每個實數。

整數不稠密

定理

$Z$ 在 $R$ 中不稠密

取

r=\frac12,\qquad \epsilon=\frac14.

對任意整數 n，

\left|n-\frac12\right|\ge \frac12>\frac14.

所以沒有任何整數落在 1/2 的 1/4 距離以內。故 $Z$ 在 $R$ 中不稠密。

要證明一個集合不稠密，只需要找到一個無法逼近的點和一個失敗的容許誤差。不需要檢查所有實數。

有理數稠密

定理

$Q$ 在 $R$ 中稠密

設 $r\in R$ 且 $\epsilon>0$ 。由 Archimedean property，可取 $n\in N$ 使

n>\frac1\epsilon, \qquad\text{所以}\qquad \frac1n<\epsilon.

取滿足

m_0\le nr

的最大整數 $m_0$ 。那麼

m_0\le nr<m_0+1.

除以 n 得

0\le r-\frac{m_0}{n}<\frac1n<\epsilon.

因此

q=\frac{m_0}{n}\in Q

滿足 $|r-q|<\epsilon$ 。所以 $Q$ 在 $R$ 中稠密。

這個證明精確說明了稠密性的意思：不論要求多小的誤差，都能找到一個有理近似落入那個誤差範圍。

常見錯誤

稠密不代表不可數

有理數在 $R$ 中稠密，但 $Q$ 是可數的。稠密性量度逼近能力，不量度基數。

同樣定義也可限制在實數線的一個子集內。

定義

在子集內稠密

設 $T\subset R$ 。子集 $S\subset T$ 稱為 在 $T$ 中稠密，若對每個 $t\in T$ 和每個 $\epsilon>0$ ，都存在 $s\in S$ 使得

|t-s|<\epsilon.

良序

第 6 章最後由大小與逼近轉到次序。

定義

良序集

設 $(X,\le)$ 是全序集。若每個非空子集 $S\subset X$ 都有最小元素，則稱 $(X,\le)$ 為 良序集。

全序只保證任意兩個元素可比較。良序還要求每個非空子集合都有第一個元素。

例題

自然數的有限初段

在 von Neumann 構造裡，自然數 n 被視為

n=\{0,1,\ldots,n-1\}.

用包含關係排序時，這就是通常自然數次序在有限初段上的限制。每個非空子集都有最小元素，所以每個有限的 n 都是良序的。

定理

自然數是良序的

$N$ 的通常次序是良序：每個非空子集 $S\subset N$ 都有最小元素。

證明用反證法和歸納法。若某個非空 $S\subset N$ 沒有最小元素，則可用歸納法推出 $0\notin S$ 、 $1\notin S$ 、 $2\notin S$ ，如此類推。最後得到沒有任何自然數屬於 $S$ ，與 $S$ 非空矛盾。

不是良序的通常次序

定理

$Z$ 的通常次序不是良序

子集 $Z\subset Z$ 本身沒有最小元素。對任意 $n\in Z$ ， $n-1$ 仍在 $Z$ 中且 $n-1<n$ 。所以沒有任何元素可以是第一個。

定理

$Q^+$ 的通常次序不是良序

子集 $Q^+$ 本身沒有最小元素。對任意正有理數 q，q/2 仍是正有理數，而且 q/2<q。

第二個例子特別重要：所有元素都是正的，失敗原因不是負數，而是有一條永遠可以往下走的鏈。

常見錯誤

最小元素不是下界

$Q^+$ 在 $R$ 中有下界，例如 0，但 $0\notin Q^+$ 。一個集合的最小元素必須屬於那個集合本身。

可數集可以被良序化

接著區分兩件事：

某個指定次序可能不是良序；
同一個底層集合仍可能有另一個良序。

定理

每個可數集都可以被良序化

若 $X$ 有限，寫成

X=\{x_1,\ldots,x_n\},

並按指標排序。

若 $X$ 可數無限，取一個雙射

f:N\to X.

定義

x\le_X y \quad\text{當且僅當}\quad f^{-1}(x)\le f^{-1}(y) \quad\text{在 }N\text{ 中成立}.

這樣就把 $N$ 的良序搬到 $X$ 上。

例如 $Z$ 在通常次序下不是良序，但 $Z$ 是可數的，所以只要選一個枚舉，就可以給它另一個良序。

良序定理

本章最後把良序和選擇公理連起來。

定理

良序定理

選擇公理等價於以下命題：

每個集合 $X$ 都可以被良序化。

其中一個方向很直接。若每個集合都可以良序化，給定一族非空集合，先良序化它們的聯集，再從每個集合取其最小元素，就得到一個選擇函數。

另一個方向由選擇公理出發，從 $X$ 的每個非空子集選一個元素，然後嘗試逐步選出「下一個未使用元素」來建立次序。這個方向比較技術性，因為嚴格完成這個構造需要 transfinite recursion，本課不展開。

常見錯誤

良序定理不是說通常次序可行

$R$ 、 $Z$ 、 $Q^+$ 的通常次序可以不是良序。良序定理說的是：在選擇公理下，存在某個良序。它不保證那個良序熟悉或容易計算。

快速檢查

Cantor 構造第 n 階段剩下多少個區間？每個區間長度是多少？

兩個答案都用 n 表示。

解答

答案

快速檢查

為甚麼證明 $Z$ 不稠密時，只看 `r=1/2` 和 `epsilon=1/4` 已經足夠？

使用「不稠密」的定義。

解答

答案

快速檢查

為甚麼 $Q$ 可以在 $R$ 中稠密，同時又是可數的？

指出這裡比較的是哪兩種不同概念。

解答

答案

快速檢查

為甚麼 $Z$ 的通常次序不是良序？

找出一個非空但沒有最小元素的子集。

解答

答案

練習

快速檢查

用三進制描述判斷 $(0.202020...)_3$ 是否屬於 Cantor 集。

說明哪些數字是關鍵。

解答

引導解答

快速檢查

證明 $Q^+$ 在通常次序下不是良序。

使用同一個三進制想法。

解答

引導解答

快速檢查

設 $X$ 可數無限，且 $f:N\to X$ 是雙射。為甚麼搬運過去的次序會令 $X$ 成為良序？

使用 $N$ 的良序性。

解答

6.4-6.7 區間、Cantor 集、稠密性與良序

MATH1090：集合論

閉區間與半閉區間

閉區間

不要把區間括號視為裝飾

區間與基數

區間 (0,1) 的基數等於 |R|

有界性不控制基數

Cantor 集的構造

Cantor 集

端點會留下來

三進制展開與 CCC 的成員

Cantor 集的三進制描述

長度上的悖論感

Cantor 集的基數等於 |R|

Cantor 集與 RRR 有相與基數

零長度不代表可數

觀察構造階段

逐步查看 Cantor set 構造

實數線中的稠密性

RRR 中的稠密子集

整數不稠密

ZZZ 在 RRR 中不稠密

有理數稠密

QQQ 在 RRR 中稠密

稠密不代表不可數

在子集內稠密

良序

良序集

自然數的有限初段

自然數是良序的

不是良序的通常次序

ZZZ 的通常次序不是良序

Q+Q^+Q+ 的通常次序不是良序

最小元素不是下界

可數集可以被良序化

每個可數集都可以被良序化

良序定理

良序定理

良序定理不是說通常次序可行

快速檢查

Cantor 構造第 n 階段剩下多少個區間？每個區間長度是多少？

答案

為甚麼證明 ZZZ 不稠密時，只看 r=1/2 和 epsilon=1/4 已經足夠？

答案

為甚麼 QQQ 可以在 RRR 中稠密，同時又是可數的？

答案

為甚麼 ZZZ 的通常次序不是良序？

答案

練習

用三進制描述判斷 (0.202020...)3(0.202020...)_3(0.202020...)3​ 是否屬於 Cantor 集。

引導解答

證明 Q+Q^+Q+ 在通常次序下不是良序。

引導解答

設 XXX 可數無限，且 f:N→Xf:N\to Xf:N→X 是雙射。為甚麼搬運過去的次序會令 XXX 成為良序？

引導解答

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區間 `(0,1)` 的基數等於 `|R|`

三進制展開與 $C$ 的成員

Cantor 集的基數等於 `|R|`

Cantor 集與 $R$ 有相與基數

$R$ 中的稠密子集

$Z$ 在 $R$ 中不稠密

$Q$ 在 $R$ 中稠密

$Z$ 的通常次序不是良序

$Q^+$ 的通常次序不是良序

為甚麼證明 $Z$ 不稠密時，只看 `r=1/2` 和 `epsilon=1/4` 已經足夠？

為甚麼 $Q$ 可以在 $R$ 中稠密，同時又是可數的？

為甚麼 $Z$ 的通常次序不是良序？

用三進制描述判斷 $(0.202020...)_3$ 是否屬於 Cantor 集。

證明 $Q^+$ 在通常次序下不是良序。

設 $X$ 可數無限，且 $f:N\to X$ 是雙射。為甚麼搬運過去的次序會令 $X$ 成為良序？