這一節會把命題公式變成可以逐步計算的對象。當原子命題一旦固定之後， 真值表就可以透過檢查所有可能真假指派，去判斷一個複合公式到底是真定假。
這件事聽落似乎機械，但其實數學意義好清楚：如果一個公式只牽涉 n
個命題變數，就只會有 種真假配置。真值表正正是把全部情況列全部出來，
所以不會有暗藏情況漏咗。
真值表記錄緊甚麼
定義
真值表
一個命題公式 的 真值表，會列出 之中所有變數的 每一種真假指派，並記錄 在每一行的真假值。
例如，如果公式只涉及 同 ，那麼就有四行：
所以真值表不只是一張表，而是一個完整的分類討論。
如何穩陣那麼造一張表
學生在真值表出錯，通常不是因為不識某個連接詞，而是因為：
- 行沒有列齊；
- 次序混亂；
- 未先算中間公式就急住寫最後一列。
比較可靠的做法是：
- 先列出原子命題的全部真假配置；
- 先計較簡單的子公式；
- 最後先計整個公式。
當公式包含多重連接詞時，這個習慣尤其重要。
一個最重要的等價式
例題
為甚麼 同 是同一句意思
考慮公式 同 。
| | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | T | T | F | T | T | | T | F | F | F | F | | F | T | T | T | T | | F | F | T | T | T |
最後兩列逐行完全一致。
因此
這個等價式在初等邏輯之中非常重要。它說明咗蘊含式只會在「前件真、 後件假」那一行失敗。
邏輯等價
定義
邏輯等價
如果兩個公式 同 在所有變數指派之下都得到相同真假值， 就話它們 邏輯等價，記作
邏輯等價比「剛好在某個例子一致」強得多。它表示兩個公式其實定義咗同一個 truth function。
這裏需要特別留意，以下兩種寫法不可以混為一談：
- 是一個新的 Boolean 公式；
- 是一個關於兩個公式的陳述。
兩者有關，但不是同一樣嘢。
定理
等價同雙條件
兩個公式 同 邏輯等價，當且僅當
是一個永真式。
所以雙條件可以視為檢查工具：如果它的最後一列全部都是真，那麼兩個公式就 在每一行都一致。
永真式、矛盾式同偶然式
定義
三種基本類型
設 是一個命題公式。
- 如果 在每一行都真，它就是 永真式。
- 如果 在每一行都假，它就是 矛盾式。
- 如果 有些行真、有些行假，它就是 偶然式。
標準例子是：
它是永真式；而
就是矛盾式。
這個區分好重要，因為許多簡短邏輯論證本質上都是證明某個公式永遠真， 或者永遠假。
第二個例題
例題
用真值表檢查 De Morgan 定律
我們檢查
| | | | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | T | T | T | F | F | F | F | | T | F | T | F | F | T | F | | F | T | T | F | T | F | F | | F | F | F | T | T | T | T |
最後兩列逐行一致，所以兩個公式邏輯等價。
這個例子顯示咗真值表的典型用途：不只是計某一個公式，而是證明一條等價律。
為甚麼這一節之後還有用
真值表不是邏輯課程的終點，但它訓練兩個一直也會用的習慣：
- 把語法同意思分開處理；
- 檢查「所有情況」而不是只看一兩個例子。
之後學量詞、集合同證明時，這種完整分類討論的要求會以更成熟的形式再出現。
常見錯誤
常見錯誤
只正確一兩行不足夠
如果兩個公式只是在某一行，甚至幾行之中一致，也不足以證明等價。 等價要求的是所有可能指派都一致。
常見錯誤
不好把 同 視為同一個符號
是放入真值表裏面計算的公式。 就是說明兩個公式定義同一個 truth function 的陳述。
讀到這裏，試一試
邊讀邊試
跟著看一張真值表
互動工具讓你切換公式，並觀察每一列如何影響最後的真假。
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
小檢查
快速檢查
如果一個公式涉及三個命題變數，真值表要有幾多行？
用真假配置數量的規則回答。
解答
答案
快速檢查
為甚麼 是永真式？
逐行情況回答，不好只背結論。
解答
答案
快速檢查
同 是否邏輯等價？
指出至少一行令它們表現不同。
解答
答案
練習
快速檢查
用真值表證明 。
先加中間列，不好一步跳到最後答案。
解答