3.1 自然數與 Peano 公理

乍看之下，自然數太熟悉，似乎根本不需要定義。我們從小到大數數，彷彿

$$0,1,2,3,\ldots$$

已經把內容完整說明。

但嚴格的構造觀點會問：到底甚麼結構令自然數成為自然數？ 答案不在於符號本身，而在於一個起點、一個後繼運算，以及一條歸納原理。

為甚麼要形式定義

如果我們只是寫下 $0,1,2,3,\ldots$，其實未曾真正解釋：

• 省略號究竟代表甚麼；
• 為甚麼這個過程會一直延續；
• 為甚麼歸納法有效。

Peano 觀點就是直接把這些核心性質說明。它不靠直覺，而是說明：凡是 自然數模型，都必須具備某幾條基本公理。

一個模型包含些甚麼

核心思想是：自然數由它們之間的結構關係決定，而不是由寫法決定。

每條公理各自做緊甚麼

每條公理都排除某一類病態情況。

• 單射性表示兩個不同數不可以在做一步後繼之後突然合流。
• $S(x)\ne x$ 排除固定點。
• $S(x)\ne 0$ 表示零是起點，而不是之後才回到去的位置。
• 歸納排除額外斷開的部分，確保所有元素都在由 0 出發生成的鏈上。

合在一起，這幾條公理就迫出我們熟悉的「一步一步向前數」的圖像。

用後繼去讀出各個數

因此，當這裏想保留定義感而不想被熟悉記號遮蔽時，就會再寫回後繼形式。

歸納不是附加技巧

許多學生會先把歸納法視為一種證明工具，之後才覺得自然數已經理解完成。 嚴格的構造觀點正好倒轉這個次序。

在 Peano 觀點之中，歸納原理本身就屬於自然數定義的一部分。也就是話， 歸納不只是用來證明 $N$ 上命題的技巧；它本身就是令 $N$ 成為自然數的 結構事實之一。

一個失敗例子

這個例子重要，因為它說明 Peano 公理不是裝飾，而是用來排除「表面似數數， 實際上不是」的結構。

可選模型：von Neumann 自然數

Peano 公理說明自然數必須有甚麼行為，但它不強迫我們採用某一種內部表示。 一個標準的集合論模型是 von Neumann 構造：

$$0:=\varnothing,\qquad 1:=\{0\},\qquad 2:=\{0,1\},\qquad 3:=\{0,1,2\}.$$

一般而言，

$$S(n)=n\cup\{n\}.$$

所以每個自然數都是所有較早自然數所組成的集合。在這個模型裏，屬於關係 反映大小次序：$m\in n$ 正好表示 $m<n$。

為甚麼公理比省略號更有內容

寫

$$0,1,2,3,\ldots$$

雖然方便，但本身不足以解釋算術與歸納為甚麼成立。

Peano 形式化正是要說明：

• 從哪裏開始；
• 前進一步是甚麼意思；
• 為甚麼不會繞回起點；
• 為甚麼歸納可以覆蓋全部自然數。

所以形式定義比起單靠直覺列表，更能揭示自然數的本質。

常見錯誤

快問快答

練習

建議先讀

這一節是構造數系篇章的起點。之後會接到 3.2 歸納法與遞歸算術， 而它使用的語言則可追溯到 2.2 函數與關係。