5.3 Delta-epsilon 極限、極限定律與連續性

第 5 章現在由序列轉向函數。新的困難在於：序列是透過離散的索引 n 向前走，但函數的自變數 x 可以由左、由右，以無窮多種實數方式逼近一個點 a。

這就是為甚麼需要引入 $\delta$ - $\varepsilon$ 定義。

由序列極限走向函數極限

上一章的

\lim_{n\to\infty}x_n=L

意思是：只要把索引取得夠後，序列值就能進入 $L$ 周圍任意窄的誤差帶。

對函數來說，我們想表達同樣的思想：

當 x 靠近 a 時，f(x) 靠近 $L$ 。

但這裡已經不能再說「把 n 取得夠大」。我們需要新的量去描述「x 與 a 夠接近」，這個角色就是 $\delta$ 。

Open intervals 與 punctured domains

先指明要處理哪類定義域。

定義

Open interval

Open interval 是 $R$ 的下列形式子集：

(b,c)=\{x\in R\mid b<x<c\},

(-\infty,c)=\{x\in R\mid x<c\},

(b,\infty)=\{x\in R\mid b<x\},

其中 $b,c\in R$ 且 $b<c$ 。

要討論 a 附近的函數極限時，考慮的是在某個 open interval 裡，把點 a 移除後的函數。這一點很重要：極限研究的是 a 附近 發生甚麼，而未必是 a 本身的函數值。

正式的 delta-epsilon 定義

定義

函數在一點的極限

設 $I$ 是一個包含 $a\in R$ 的 open interval，並令 $f:I\setminus\{a\}\to R$ 。若對每個 $\varepsilon>0$ ，都存在 $\delta>0$ 使得

0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon,

則我們說

\lim_{x\to a}f(x)=L.

這個蘊含式要慢慢讀：

$0<|x-a|<\delta$ 表示 x 已進入 a 周圍的 punctured neighborhood；
$|f(x)-L|<\varepsilon$ 表示函數值進入 $L$ 周圍的 $\varepsilon$ -帶。

所以整個定義的意思是：

對每個你要求的輸出精度 $\varepsilon$ ，都能找到一個足夠小的輸入範圍 $\delta$ ，使得只要 x 落在那範圍內，f(x) 就會落在 $L$ 周圍的誤差帶內。

常見錯誤

函數極限定義不理會 a 點本身的值

條件中的 $0<|x-a|$ 把 $x=a$ 排除了。所以 f(a) 可以未定義，也可以和 $L$ 不同，而極限仍然可以存在。

第一個例子： $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$

Example 19 是最基本的 linear 函數例子。

例題

取 `\delta=\varepsilon/2`

令 $f(x)=2x+1$ 、 $a=3$ 、 $L=7$ 。則

|f(x)-7| = |(2x+1)-7| = |2x-6| = 2|x-3|.

所以要使 $|f(x)-7|<\varepsilon$ ，只需保證

|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}.

故可取

\delta=\frac{\varepsilon}{2}.

這樣一來，只要 $0<|x-3|<\delta$ ，

|f(x)-7|=2|x-3|<2\delta=2\cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.

因此

\lim_{x\to 3}(2x+1)=7.

這個例子展示了最標準的證明模式：

由 $|f(x)-L|$ 開始；
把它化成與 $|x-a|$ 有關的式子；
然後倒推出一個可行的 $\delta$ 。

另外兩個基本例子

例題

Constant functions

若 $f(x)=c$ 對所有 x 都成立，則

|f(x)-c|=|c-c|=0<\varepsilon

對任意 $\varepsilon>0$ 和任意 x 都成立。

所以任何正數都可以當作 $\delta$ ，而

\lim_{x\to a}c=c.

例題

有一個 hole 的函數

考慮

f:(0,\infty)\setminus\{2\}\to R,\qquad f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}.

雖然這條公式在 $x=2$ 未定義，但對 $x\ne 2$ ，可化簡成

f(x)=x+2.

所以在 $x=2$ 附近，

|f(x)-4|=|(x+2)-4|=|x-2|.

因此取 $\delta=\varepsilon$ 即可。只要 $0<|x-2|<\delta$ ，便有

|f(x)-4|<\varepsilon.

故

\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4,

即使 f(2) 根本不存在。

把 delta 鄰域映到 epsilon 帶

圖： $\delta$ - $\varepsilon$ 定義把 a 附近的輸入鄰域，連到 $L$ 周圍的輸出誤差帶。證明工作的核心，就是選出一個足夠好的 $\delta$ ，讓這個蘊含式總能成立。

用互動方式看清這個定義

下面的互動演示讓你在典型例子之間切換、選擇 $\varepsilon$ ，再試不同樣本輸入 x。核心就是把

0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon

看成輸入區間與輸出誤差帶之間的一個對應。

邊讀邊試

用幾何方式檢查一次 delta-epsilon 蘊含

這個工具把 x 端的 delta 條件與 y 端的 epsilon 條件連在一起，讓讀者把正式定義看成兩個互相配合的幾何檢查。

0 < |x - a| < δ，其中 δ = 0.25

x = 2.8

|f(x) - L| < ε，其中 ε = 0.5

f(x) = 6.6

0 < |x - a| < δ

|2.8 - 3| = 0.2

所選 x 的確落在 delta 鄰域內。

|f(x) - L| < ε

|6.6 - 7| = 0.4

函數值落在 L 周圍的 epsilon 帶內。

極限如何失敗？

接著說明：如何證明某個候選極限不存在。

若要證明 $\lim_{x\to a}f(x)\ne L$ ，就要找到一個固定的 $\varepsilon>0$ ，使得不論 $\delta$ 取得多小，總能找到某個 x 滿足 $0<|x-a|<\delta$ ，但同時

|f(x)-L|\ge \varepsilon.

Example 22 用的是

f(x)=\frac{|x|}{x},

它在 $x>0$ 時等於 1，在 $x<0$ 時等於 $-1$ 。

例題

為甚麼 `|x|/x` 在 `0` 沒有極限

取 $\varepsilon=1$ 。任意給定 $\delta>0$ ，令

x_1=\frac{\delta}{2}>0, \qquad x_2=-\frac{\delta}{2}<0.

兩者都滿足 $|x_i|<\delta$ ，但

f(x_1)=1,\qquad f(x_2)=-1.

沒有任何單一實數 $L$ 能同時和 1、 $-1$ 都相距小於 1。因此該函數在 0 沒有極限。

這就是一種典型失敗方式：左邊逼近與右邊逼近給出互不相容的行為。

極限定律

一旦若干基本極限已知，極限定律就說明如何由舊極限組合出新極限。

定理

極限定律

若 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 且 $\lim_{x\to a}g(x)=M$ ，則：

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$ ；
$\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=LM$ ；
若 $M\ne 0$ ，則

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.

加法定律最能展示思路：把總誤差 $\varepsilon$ 分成兩半，再用 triangle inequality，

|f(x)+g(x)-(L+M)|\le |f(x)-L|+|g(x)-M|.

乘法定律則多一步，要先證明 |f(x)| 在 a 附近是有界的。

例題

利用加法定律

考慮 $f(x)=2x+1$ 與 $g(x)=\sqrt{x}$ 在 $x=4$ 附近。若已知

\lim_{x\to 4}(2x+1)=9, \qquad \lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2,

那麼加法定律立即給出

\lim_{x\to 4}\bigl((2x+1)+\sqrt{x}\bigr)=9+2=11.

順序判別：用序列刻畫函數極限

Theorem 3 把函數極限再度連回序列極限。

定理

函數極限的 sequential characterization

設 $f:I\setminus\{a\}\to R$ 。則

\lim_{x\to a}f(x)=L

當且僅當對每個滿足 $x_n\in I\setminus\{a\}$ 且 $x_n\to a$ 的序列 $(x_n)$ ，都有

\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L.

這個定理非常實用，因為它提供了兩種方法：

若要證明極限存在，就檢查所有逼近 a 的序列；
若要證明極限不存在，只要找兩條逼近 a 的序列，令函數值出現互不相容的極限即可。

Example 25 正是這樣重新處理 f(x)=\sin(1/x)。

例題

用兩條序列證明 `\sin(1/x)` 在 `0` 沒有極限

取

x_n=\frac{1}{2\pi n}, \qquad y_n=\frac{1}{2\pi n+\pi/2}.

則 $x_n\to 0$ 且 $y_n\to 0$ ，但

f(x_n)=\sin(2\pi n)=0\to 0,

而

f(y_n)=\sin(2\pi n+\pi/2)=1\to 1.

由於兩條同樣逼近 0 的序列給出不同的函數值極限，所以 \lim_{x\to 0}\sin(1/x) 不存在。

連續性

極限最重要的用途之一，就是把「函數是連續的」這個直覺說得精確。

定義

一點的連續性

設 $f:I\to R$ 且 $a\in I$ 。若

\lim_{x\to a}f(x)=f(a),

則稱 f 在 a 連續。

等價地，用 $\varepsilon$ - $\delta$ 語言可寫成：

\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\text{ 使得 } |x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon.

請留意：這次條件裡不再有 $0<|x-a|$ 。因為連續性真的會檢查 $x=a$ 時的函數值。

一個標準不連續例子是

f(x)= \begin{cases} 0,& x\ne 0,\\ 1,& x=0. \end{cases}

這裡 x 在 0 附近時的函數值都接近 0，但 $f(0)=1$ ，所以它在 0 不連續。

常見錯誤

有極限不代表自動連續

hole 那個例子已經說明：一個函數可以在 a 有極限，但在 a 未定義。連續性還要多加一個條件，就是函數值存在並且等於那個極限。

快速檢查

為甚麼函數極限定義要寫成 $0 < |x-a| < \delta$ ，而不是只寫 $|x-a| < \delta$ ？

想一想在極限問題裡，a 點本身是否一定重要。

解答

答案

快速檢查

在證明 $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$ 時，對任意 epsilon 應選甚麼 delta？

利用 $|f(x)-7|=2|x-3|$ 。

解答

答案

快速檢查

為甚麼 $\frac{x^2-4}{x-2}$ 可以在 $x=2$ 有極限，雖然公式在那裡未定義？

回想極限定義實際檢查的是甚麼。

解答

答案

練習

快速檢查

證明 $\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2$ 。

先把 $|\sqrt{x}-2|$ 有理化，同時控制分母不要太小。

解答

引導解答

快速檢查

用 sequential characterization 再證明一次 `\lim_{x\to 0}\sin(1/x)` 不存在。

你只需要兩條精心選擇的序列。

解答

引導解答

快速檢查

若已知 $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在，要再加上甚麼條件，才可推出 f 在 a 連續？

直接對照極限與連續性的定義。

解答

5.3 Delta-epsilon 極限、極限定律與連續性

MATH1090：集合論

由序列極限走向函數極限

Open intervals 與 punctured domains

Open interval

正式的 delta-epsilon 定義

函數在一點的極限

函數極限定義不理會 a 點本身的值

第一個例子：lim⁡x→3(2x+1)=7\lim_{x\to 3}(2x+1)=7limx→3​(2x+1)=7

取 \delta=\varepsilon/2

另外兩個基本例子

Constant functions

有一個 hole 的函數

用互動方式看清這個定義

用幾何方式檢查一次 delta-epsilon 蘊含

極限如何失敗？

為甚麼 |x|/x 在 0 沒有極限

極限定律

極限定律

利用加法定律

順序判別：用序列刻畫函數極限

函數極限的 sequential characterization

用兩條序列證明 \sin(1/x) 在 0 沒有極限

連續性

一點的連續性

有極限不代表自動連續

快速檢查

為甚麼函數極限定義要寫成 0<∣x−a∣<δ0 < |x-a| < \delta0<∣x−a∣<δ，而不是只寫 ∣x−a∣<δ|x-a| < \delta∣x−a∣<δ？

答案

在證明 lim⁡x→3(2x+1)=7\lim_{x\to 3}(2x+1)=7limx→3​(2x+1)=7 時，對任意 epsilon 應選甚麼 delta？

答案

為甚麼 x2−4x−2\frac{x^2-4}{x-2}x−2x2−4​ 可以在 x=2x=2x=2 有極限，雖然公式在那裡未定義？

答案

練習

證明 lim⁡x→4x=2\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2limx→4​x​=2。

引導解答

用 sequential characterization 再證明一次 \lim_{x\to 0}\sin(1/x) 不存在。

引導解答

若已知 lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x)limx→a​f(x) 存在，要再加上甚麼條件，才可推出 f 在 a 連續？

引導解答

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第一個例子： $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$

取 `\delta=\varepsilon/2`

為甚麼 `|x|/x` 在 `0` 沒有極限

用兩條序列證明 `\sin(1/x)` 在 `0` 沒有極限

為甚麼函數極限定義要寫成 $0 < |x-a| < \delta$ ，而不是只寫 $|x-a| < \delta$ ？

在證明 $\lim_{x\to 3}(2x+1)=7$ 時，對任意 epsilon 應選甚麼 delta？

為甚麼 $\frac{x^2-4}{x-2}$ 可以在 $x=2$ 有極限，雖然公式在那裡未定義？

證明 $\lim_{x\to 4}\sqrt{x}=2$ 。

用 sequential characterization 再證明一次 `\lim_{x\to 0}\sin(1/x)` 不存在。

若已知 $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在，要再加上甚麼條件，才可推出 f 在 a 連續？