5.2 RREF 唯一性與秩的良定性

高斯消元看起來是一套算法，但仍有一個重要的理論問題需要處理：

如果兩個人用不同合法路徑化簡同一個矩陣，為甚麼最後得到的 RREF 必須相同？

存在性只說明至少可以到達某個 RREF。唯一性則說明可能的 RREF 只有一個。正 因為有這個唯一性，我們才可以說一個矩陣的 the RREF，也才可以不依賴某 次計算路徑去定義 秩。

閱讀前準備

本附錄會使用三個早前已建立的事實。

1. 行等價可以寫成左乘某個可逆矩陣。
2. 行等價會保留對應欄之間的線性關係。
3. 在 RREF 中，樞軸欄與自由欄有很固定的形狀。

證明比一次行化簡計算長，但想法很清楚：由左至右比較兩個可能的 RREF。先逼 出同一批樞軸欄，再用自由欄與樞軸欄之間的線性關係逼出所有自由欄。

定理

由於行等價有傳遞性，只要證明以下較直接的形式便足夠。

請留意「最簡」二字。普通行階梯形不唯一；同一個矩陣可以有許多不同 REF，但 只有一個 RREF。

行等價會保留欄之間的線性關係

把兩個行等價的 $p \times q$ 矩陣寫成欄向量形式：

$$B=[b_1\ b_2\ \cdots\ b_q], \qquad C=[c_1\ c_2\ \cdots\ c_q].$$

若 $B$ 與 $C$ 行等價，則存在某個可逆 $p \times p$ 矩陣 $G$，使得

$$B = GC.$$

因此對每個欄指標 j，都有 $b_j = Gc_j$。

反方向要用 $G^{-1}$。這正是 $G$ 必須可逆的原因：欄關係可以在兩個行等價矩 陣之間來回移動。

RREF 的欄長甚麼樣子

設 $C$ 是一個 RREF。假設它的樞軸欄為

$$d_1<d_2<\cdots<d_r.$$

那麼這些樞軸欄具有標準基向量的形狀：

$$c_{d_1}=e_1,\quad c_{d_2}=e_2,\quad \ldots,\quad c_{d_r}=e_r,$$

其中向量長度由 $C$ 的列數決定。

自由欄則由其左方的樞軸欄控制。若 $c_j$ 是自由欄，而其左方的樞軸欄為 $c_{d_1},\ldots,c_{d_h}$，則

$$c_j=\gamma_{1j}c_{d_1}+\gamma_{2j}c_{d_2}+\cdots+\gamma_{hj}c_{d_h}.$$

這些係數並不神秘：它們就是 $c_j$ 在樞軸行中的條目。

此外，每個樞軸欄在出現時都真正帶來新方向：

$$c_{d_k} \quad\text{不是其左方各欄的線性組合。}$$

這三點就是唯一性證明的核心。

對樞軸數目作歸納

為避免循環論證，在本證明中，「一個 RREF 的秩」暫時只解作「該 RREF 的樞 軸欄數目」。只有在唯一性證明完成後，我們才正式定義任意矩陣的秩。

一個具體縮小版

上面的證明追蹤任意欄，可能看起來較抽象。以下用一個小 RREF 展示同一邏輯：

$$C= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

樞軸欄是第 1 欄與第 3 欄：

$$c_1=e_1, \qquad c_3=e_2.$$

自由欄滿足

$$c_2=2c_1, \qquad c_4=-c_1+3c_3.$$

現在假設 $B$ 是另一個與 $C$ 行等價的 RREF。第一個樞軸欄不能消失，所以 $b_1=e_1$。由於關係 $c_2=2c_1$ 被保留，$b_2=2b_1=2e_1$，第二欄也被逼出。

第三欄不是第 1、2 欄的線性組合，所以它必須成為 $B$ 的下一個樞軸欄： $b_3=e_2$。最後，關係 $c_4=-c_1+3c_3$ 被保留，所以

$$b_4=-b_1+3b_3=-e_1+3e_2=c_4.$$

因此 $B=C$。整個矩陣逐欄被迫相同。

秩因此成為良定概念

這個定義之所以合法，是因為唯一性已經被證明。若不同化簡路徑可以得到不同 RREF，那麼樞軸欄數目便可能依賴路徑。唯一性定理排除了這個可能。

所以秩不是某次計算的記錄，而是矩陣本身的不變量。

因此在計算上可以安全地使用以下流程：

1. 把 $A$ 化成 RREF；
2. 標出該 RREF 的樞軸欄；
3. 數樞軸欄數目，得到 $\operatorname{rank}(A)$。

如果題目要求列空間的一組基底，則要用樞軸位置回到原矩陣中相應的欄。若題目 只要求秩，RREF 本身已經足夠。這個分別很重要：行變換會保留欄關係，但通常 不保留實際的列空間。

常見錯誤

快速檢查

練習

練習 1

設

$$C= \begin{bmatrix} 1&4&0&2\\ 0&0&1&-3\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}.$$

指出其樞軸欄，並把每個自由欄寫成樞軸欄的線性組合。

練習 2

假設 $B$ 是與練習 1 中 $C$ 行等價的 RREF。用欄關係說明為何 $B=C$。

練習 3

解釋為甚麼以下兩個行等價的 REF 矩陣不會反駁 RREF 唯一性：

$$E_1= \begin{bmatrix} 1&2\\ 0&0 \end{bmatrix}, \qquad E_2= \begin{bmatrix} 2&4\\ 0&0 \end{bmatrix}.$$

相關筆記

本節應在 2.5 行階梯形的存在性 和 5.1 可逆矩陣 之後閱讀。它也支撐 6.6 列空間、行空間與秩。