2.5 行階梯形的存在性

前面的筆記說明如何做高斯消元，以及如何讀取化簡後的結果。本節問一個更理論 化的問題：

為甚麼每個矩陣都可以期望有一個行階梯形，甚至有一個最簡行階梯形？

這個問題很重要，因為行化簡會在整個課程中反覆出現：解方程組、找自由變量、 測試張成、測試線性無關、求逆、求秩、建立基底，都會用到它。若行階梯形只 是一堆例子，後面的理論便沒有穩固基礎。下面的定理說明：演算法確實有保證能 到達的目標。

要證明甚麼

第一個定理說高斯消元總能到達階梯形；第二個定理說，到達階梯形後，進一步清 理樞軸欄總能到達最簡形式。

證明屬於可選內容，但它有價值，因為它展示行化簡不是單純食譜，而是一個有限 而有結構的論證。

對行數作歸納

REF 存在性的證明使用行數歸納。

基本情況很直接。一行矩陣本身已是行階梯形：它要麼是零行，要麼唯一非零行的 第一個非零項就是首項。

歸納步驟中，假設 P(k) 成立，並令 $A$ 是一個有 $k+1$ 行的矩陣。

若 $A$ 是零矩陣，沒有事情要證。否則，找出 $A$ 中最左邊的非零欄。在該欄 中，找出最上方的非零項；如有需要，將該行交換到第一行。把新的第一個樞軸值 記為 $\beta$。

接着，用第一行把同一欄中 $\beta$ 下方所有項清成零。矩陣便有分塊形狀

$$\begin{bmatrix} O_{1\times(j-1)} & \beta & u \\ O_{k\times(j-1)} & 0_k & V \end{bmatrix},$$

其中 $V$ 是一個有 k 行的矩陣。

現在可對 $V$ 使用歸納假設。它可被行化簡成某個行階梯形 V'。把相應行變換 作用在整個矩陣的下方 k 行，得到

$$\begin{bmatrix} O_{1\times(j-1)} & \beta & u \\ O_{k\times(j-1)} & 0_k & V' \end{bmatrix}.$$

這個矩陣是行階梯形：第一個樞軸在第 j 欄，其下方全為零；下方分塊則由歸 納假設已具備階梯結構。

這個證明的重點不是背誦分塊記號，而是看見遞歸結構：先放置一個樞軸，清掉其 下方項，再把剩下的小矩陣交給同一個定理處理。

由 REF 到 RREF

第二部分從一個已是行階梯形的矩陣出發，目標是證明它可以在保持行等價的情況 下變成最簡行階梯形。

此時歸納的參數是秩，也就是行階梯形中的非零行數。

基本情況 $r=0$ 立即成立：秩為 0 的行階梯形是零矩陣，而零矩陣已是 RREF。

歸納步驟中，假設秩 k 的情況已成立，並令 $A$ 是秩 $k+1$ 的行階梯形。先 看最後一個樞軸欄左邊的所有欄。這些欄形成一個秩為 k 的較小行階梯分塊， 所以可用歸納假設把左方分塊化成最簡形式。

然後把最後一個樞軸化成 1，並清掉它上方的項。由於行階梯形在相關位置已有 零，這些行變換不會破壞左方已處理好的樞軸欄。

最後所得矩陣的每個樞軸欄都只有一個非零項，而該項等於 1，所以它是 RREF。

由 REF 清理到 RREF 時樞軸欄保持不變

上述證明其實給出一個很有用的額外結論。

因此，一旦矩陣已在 REF，中樞軸欄已可讀出。繼續由 REF 化成 RREF 只是清理 樞軸欄，不會把樞軸移到新欄。

本節沒有證明甚麼

本節證明的是存在性：每個矩陣至少可到達某個 REF，也至少可到達某個 RREF。

另有一個更強的重要定理會在秩被視為良定不變量時使用：一個矩陣的 RREF 是唯 一的。唯一性比存在性更強。存在性說目標可以到達；唯一性說所有合法化簡路徑 都會到達同一個最簡目標。

普通計算時，主要記住以下後果：

1. 消元總能整理成 REF；
2. REF 總能再清理成 RREF；
3. 在 REF 中讀到的樞軸欄，會與對應 RREF 中的樞軸欄相同；
4. 行等價會保留增廣方程組的解集。

常見錯誤

快速檢查

練習

練習 1

說明以下矩陣為何已是 REF，並指出其樞軸欄：

$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 5 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

練習 2

假設某行階梯形的樞軸欄是第 1、4、5 欄。它進一步化成 RREF 後，樞軸 欄會是甚麼？

相關筆記

本附錄應在 2.3 高斯消元與最簡行階梯形 之後閱讀，然後再把行化簡大量用於張成、線性無關、秩與逆矩陣計算。