6.7 矩陣子空間、基底與維數

到目前為止，多數基底與維數例子都使用列向量。不過同樣的思想也適用於矩陣， 因為矩陣可以相加，也可以乘以純量。換句話說，在某些向量空間裡，矩陣本身 就是「向量」。

本節說明如何在 $M_{m,n}(R)$ 中閱讀基底與維數。這裡 $M_{m,n}(R)$ 表示所有 實 $m \times n$ 矩陣所成的向量空間。

把矩陣視為向量

運算就是平常的矩陣加法與純量乘法：

$$A+B,\qquad \alpha A.$$

這些運算會保持大小不變。若 $A$ 與 $B$ 都是 $m \times n$ 矩陣，則每個線性 組合

$$\alpha A+\beta B$$

仍然是 $m \times n$ 矩陣。

這是 $M_{m,n}(R)$ 的子空間。理由與向量的 span 一樣：線性組合的和以及純量 倍數仍是線性組合。

標準矩陣單元

對每個位置 (i,j)，定義 $E_{ij}$ 為 (i,j) 位置是 1、其他位置全是 0 的矩陣。

例如，$M_{2,2}(R)$ 的一組基底是

$$E_{11}= \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}, \quad E_{12}= \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}, \quad E_{21}= \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}, \quad E_{22}= \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

每個 $2 \times 2$ 矩陣都能唯一寫成

$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} =aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}.$$

數字 mn 不是記憶技巧，而是 $m \times n$ 矩陣中獨立位置的數目。

上三角矩陣

有些矩陣子空間是透過把某些位置強制為零而定義的。

只有主對角線上方及主對角線上的元素是自由的。因此，一組基底由所有滿足 $i\le j$ 的矩陣單元 $E_{ij}$ 給出。

對 $UT_3(R)$，一組基底是

$$E_{11},E_{12},E_{13},E_{22},E_{23},E_{33}.$$

所以

$$\dim UT_3(R)=6.$$

一般而言，

$$\dim UT_n(R)=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

反對稱矩陣

另一個重要子空間由涉及轉置的方程定義。

反對稱矩陣的主對角線元素必須為零，因為 $a_{ii}=-a_{ii}$ 推出 $a_{ii}=0$。主對角線上方的元素決定下方的元素，並且符號相反。

當 $n=3$ 時，每個反對稱矩陣都有形式

$$\begin{bmatrix} 0&a&b\\ -a&0&c\\ -b&-c&0 \end{bmatrix}.$$

所以 $Skew_3(R)$ 的一組基底是

$$E_{12}-E_{21},\qquad E_{13}-E_{31},\qquad E_{23}-E_{32},$$

並且

$$\dim Skew_3(R)=3.$$

一般而言，

$$\dim Skew_n(R)=\frac{n(n-1)}2.$$

矩陣與長列向量之間的字典

矩陣子空間之所以和向量子空間有相同行為，是因為我們可以把矩陣的各列疊成 一條長列向量。例如

$$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} \quad\longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix} a\\c\\b\\d \end{bmatrix}.$$

這個轉換只是 bookkeeping，但它說明了為甚麼線性組合、線性無關、基底與維數 的定理可以轉移到矩陣空間。矩陣之間的線性關係，會變成長列向量之間的線性 關係。

例子：對稱 $2 \times 2$ 矩陣

令 $Sym_2(R)$ 為所有對稱 $2 \times 2$ 矩陣所成的集合。一般元素有形式

$$\begin{bmatrix} a&b\\ b&c \end{bmatrix}.$$

因此

$$\begin{bmatrix} a&b\\ b&c \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

三個矩陣

$$\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$$

張成 $Sym_2(R)$。

它們線性無關，因為

$$\alpha\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} +\beta\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} +\gamma\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$$

會透過比較元素迫使 $\alpha=0$、$\beta=0$、$\gamma=0$。所以它們形成一組 基底，並且

$$\dim Sym_2(R)=3.$$

解題流程

當題目要求找矩陣子空間的基底時：

1. 先寫出子空間中一般矩陣的形式；
2. 找出自由參數；
3. 把矩陣拆成第一個參數乘上一個固定矩陣，再加上第二個參數乘上另一個固定 矩陣，如此類推；
4. 用這些固定矩陣作候選基底；
5. 透過比較元素檢查線性無關。

這就是把解集參數化並讀出方向向量的方法，移到矩陣空間中使用。

常見錯誤

快速檢查

練習

先讀這些

本節使用 6.5 基底與維數 以及 3.2 轉置與特殊矩陣。