4.2 集合語言與解集

線性代數研究的往往不是單一向量，而是一整個向量或矩陣的集合：一個方程組的 所有解、一組向量的所有線性組合、滿足某條矩陣方程的所有矩陣，或者被某個矩 陣送到零向量的所有向量。

集合語言就是精確表達這些對象的語法。若沒有它，「同一個解集」、「屬於零 空間」、「這些向量張成同一個子空間」這些說法就會太含糊，難以支撐證明。

為甚麼線性代數需要集合

做行化簡時，我們不是要保留方程的外觀，而是要保留解的集合。兩個方程 組可以看起來不同，卻有完全相同的解。

同樣地，把一組張成向量縮短時，我們不是要保留原來的列表，而是要保留由這 個列表能夠生成的向量集合。

符號 $\in$ 應讀作「屬於」。它不同於子集語言。一個向量可以屬於某個集合； 一個較小的集合可以是另一個集合的子集。

Ambient space

寫下一個線性代數集合之前，先確認正在收集哪一類物件。

• $R^n$ 是所有有 n 個分量的實列向量所成的集合。
• $M_{m,n}(R)$ 是所有實 $m \times n$ 矩陣所成的集合。
• $P_n$ 是所有次數不超過 n 的實係數多項式所成的集合。

ambient space 很重要。式子

$$\{x : Ax=b\}$$

若沒有說明 x 的大小與類型，就不夠完整。較嚴謹的寫法是

$$\{x\in R^n : Ax=b\}.$$

冒號左邊說明物件住在哪個集合；冒號右邊說明挑選這些物件的條件。

解集

設 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣，且 $b\in R^m$。

因此 $t\in S(A,b)$ 有精確意思：

$$t\in R^n \qquad\text{且}\qquad At=b.$$

這個記號也能處理三種熟悉情況。

• 若方程組有唯一解 $x_0$，則 $S(A,b)=\{x_0\}$。
• 若方程組不一致，則 $S(A,b)=\varnothing$。
• 若方程組有無限多個解，則 S(A,b) 通常用參數式描述。

零空間與張成都是集合

課程中有兩種集合構造反覆出現。

這就是齊次方程組 $Ax=0$ 的解集。

張成是一個集合，不是原來的列表。重排向量不會改變張成；加入一個本來已經 是舊向量線性組合的向量，也不會改變張成。

堆疊矩陣中的 subset 證明

功課題常要求你直接根據定義證明集合包含，而不是引用較大的定理。下面的模式 很值得掌握。

集合相等需要兩個方向

在證明中，這通常變成兩個包含關係：

1. 證明 $S$ 的每個元素都屬於 $T$；
2. 證明 $T$ 的每個元素都屬於 $S$。

只證明第一個方向，只能得到 $S\subseteq T$，不能得到相等。

同一係數矩陣的解集交集

集合語言也能清楚說明一個常用事實：若 $Ax=b$ 和 $Ax=c$ 的解集有一個共同 向量，則兩個右端向量其實必須相同。

反過來讀也很重要：對固定矩陣 $A$，兩個一致系統 $Ax=b$ 與 $Ax=c$ 的解集 要麼不相交，要麼完全相同。它們不可能只共享一個解，卻在其他解上不同。

一個核心張成論證

下面的論證在線性代數中會不斷出現，只是常常藏在較大的計算裡。

這不是某個數值例子的技巧，而是說明為甚麼從張成列表中刪去冗餘向量是合法 的。

例子：證明兩個 span 相等

令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}2\\3\\5\end{bmatrix}.$$

因為

$$v=2u_1+3u_2,$$

上面的定理給出

$$\operatorname{Span}\{u_1,u_2,v\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

向量 v 可能仍然有計算上的用途，但它沒有擴大可生成的向量集合。

常見錯誤

快速檢查

練習

先讀這些

本節延伸 1.1 方程與解集， 並準備 6.3 線性組合與張成 中使用的集合相等論證。