5.2 RREF 唯一性与秩的良定性

高斯消元看起来是一套算法，但仍有一个重要的理论问题需要处理：

如果两个人用不同合法路径化简同一个矩阵，为什么最后得到的 RREF 必须相同？

存在性只说明至少可以到达某个 RREF。唯一性则说明可能的 RREF 只有一个。正 因为有这个唯一性，我们才可以说一个矩阵的 the RREF，也才可以不依赖某 次计算路径去定义 秩。

阅读前准备

本附录会使用三个早前已建立的事实。

1. 行等价可以写成左乘某个可逆矩阵。
2. 行等价会保留对应列之间的线性关系。
3. 在 RREF 中，主元列与自由列有很固定的形状。

证明比一次行化简计算长，但想法很清楚：由左至右比较两个可能的 RREF。先逼 出同一批主元列，再用自由列与主元列之间的线性关系逼出所有自由列。

定理

由于行等价有传递性，只要证明以下较直接的形式便足够。

请留意“简化”二字。普通行阶梯形不唯一；同一个矩阵可以有许多不同 REF，但 只有一个 RREF。

行等价会保留列之间的线性关系

把两个行等价的 $p \times q$ 矩阵写成列向量形式：

$$B=[b_1\ b_2\ \cdots\ b_q], \qquad C=[c_1\ c_2\ \cdots\ c_q].$$

若 $B$ 与 $C$ 行等价，则存在某个可逆 $p \times p$ 矩阵 $G$，使得

$$B = GC.$$

因此对每个列指标 j，都有 $b_j = Gc_j$。

反方向要用 $G^{-1}$。这正是 $G$ 必须可逆的原因：列关系可以在两个行等价矩 阵之间来回移动。

RREF 的列长什么样子

设 $C$ 是一个 RREF。假设它的主元列为

$$d_1<d_2<\cdots<d_r.$$

那么这些主元列具有标准基向量的形状：

$$c_{d_1}=e_1,\quad c_{d_2}=e_2,\quad \ldots,\quad c_{d_r}=e_r,$$

其中向量长度由 $C$ 的行数决定。

自由列则由其左方的主元列控制。若 $c_j$ 是自由列，而其左方的主元列为 $c_{d_1},\ldots,c_{d_h}$，则

$$c_j=\gamma_{1j}c_{d_1}+\gamma_{2j}c_{d_2}+\cdots+\gamma_{hj}c_{d_h}.$$

这些系数并不神秘：它们就是 $c_j$ 在主元行中的条目。

此外，每个主元列在出现时都真正带来新方向：

$$c_{d_k} \quad\text{不是其左方各列的线性组合。}$$

这三点就是唯一性证明的核心。

对主元数目作归纳

为避免循环论证，在本证明中，“一个 RREF 的秩”暂时只解作“该 RREF 的主元列 数目”。只有在唯一性证明完成后，我们才正式定义任意矩阵的秩。

一个具体缩小版

上面的证明追踪任意列，可能看起来较抽象。以下用一个小 RREF 展示同一逻辑：

$$C= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

主元列是第 1 列与第 3 列：

$$c_1=e_1, \qquad c_3=e_2.$$

自由列满足

$$c_2=2c_1, \qquad c_4=-c_1+3c_3.$$

现在假设 $B$ 是另一个与 $C$ 行等价的 RREF。第一个主元列不能消失，所以 $b_1=e_1$。由于关系 $c_2=2c_1$ 被保留，$b_2=2b_1=2e_1$，第二列也被逼出。

第三列不是第 1、2 列的线性组合，所以它必须成为 $B$ 的下一个主元列： $b_3=e_2$。最后，关系 $c_4=-c_1+3c_3$ 被保留，所以

$$b_4=-b_1+3b_3=-e_1+3e_2=c_4.$$

因此 $B=C$。整个矩阵逐列被迫相同。

秩因此成为良定概念

这个定义之所以合法，是因为唯一性已经被证明。若不同化简路径可以得到不同 RREF，那么主元列数目便可能依赖路径。唯一性定理排除了这个可能。

所以秩不是某次计算的记录，而是矩阵本身的不变量。

因此在计算上可以安全地使用以下流程：

1. 把 $A$ 化成 RREF；
2. 标出该 RREF 的主元列；
3. 数主元列数目，得到 $\operatorname{rank}(A)$。

如果题目要求列空间的一组基，则要用主元位置回到原矩阵中相应的列。若题目只 要求秩，RREF 本身已经足够。这个分别很重要：行变换会保留列关系，但通常不 保留实际的列空间。

常见错误

快速检查

练习

练习 1

设

$$C= \begin{bmatrix} 1&4&0&2\\ 0&0&1&-3\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}.$$

指出其主元列，并把每个自由列写成主元列的线性组合。

练习 2

假设 $B$ 是与练习 1 中 $C$ 行等价的 RREF。用列关系说明为何 $B=C$。

练习 3

解释为什么以下两个行等价的 REF 矩阵不会反驳 RREF 唯一性：

$$E_1= \begin{bmatrix} 1&2\\ 0&0 \end{bmatrix}, \qquad E_2= \begin{bmatrix} 2&4\\ 0&0 \end{bmatrix}.$$

相关笔记

本节应在 2.5 行阶梯形的存在性 和 5.1 可逆矩阵 之后阅读。它也支撑 6.6 列空间、行空间与秩。