3.3 行變換矩陣

行變換最初是矩陣上的操作步驟：交換兩行、把一行乘以非零純量、把一行的倍數 加到另一行。這些操作已經可以用來解方程組，因為它們保留解集。

但同一件事還有一個更有結構的讀法：每一個初等行變換，都等同於左乘某個特別 的方陣。這個觀點很重要，因為它把一串行變換轉成普通的矩陣等式。之後討論 行化簡、可逆性、秩、行列式和基底時，這正是程序性操作和代數結構之間的橋。

核心想法：先把行變換作用在單位矩陣上

假設一個行變換 $\rho$ 作用於有 p 行的矩陣。先從單位矩陣 $I_p$ 開始， 對 $I_p$ 做同一個行變換，所得矩陣記作 $E_\rho$。

這個定義有用，是因為以下定理。

這裏必須是左乘。行變換改變的是行，會把新行寫成舊行的線性組合；左乘正是把 $A$ 的新行寫成舊行的線性組合。右乘則會混合列，不是同一件事。

三個基本例子

三種合法行變換，對應三種行變換矩陣。

一串行變換就是一個矩陣乘積

真正的用途不只是表示單一步驟，而是把整串行變換寫成一個矩陣乘積。

這個公式中的次序很重要。第一個行變換最靠近 $A_1$，因為它最先作用：

$$A_2 = E_{\rho_1}A_1, \qquad A_3 = E_{\rho_2}A_2 = E_{\rho_2}E_{\rho_1}A_1.$$

讀懂較長的行變換乘積

在功課式題目裏，行變換經常會以一長串步驟出現。重點不是盲目相乘很多矩陣， 而是把三種對象分清楚：

• 正在被變換的矩陣 $A_1,A_2,\ldots,A_{k+1}$；
• 每一步對應的行變換矩陣 $H_1,H_2,\ldots,H_k$；
• 合併後的單一左乘矩陣 $J=H_k\cdots H_2H_1$。

以下是一個四行矩陣的典型例子。假設

$$\begin{aligned} \rho_1 &: R_2 \leftarrow -\frac12 R_2,\\ \rho_2 &: R_1 \leftrightarrow R_2,\\ \rho_3 &: R_3 \leftarrow R_3-2R_1,\\ \rho_4 &: R_4 \leftarrow R_4-2R_3,\\ \rho_5 &: R_1 \leftarrow R_1-R_3,\\ \rho_6 &: R_1 \leftarrow R_1-R_2. \end{aligned}$$

如果

$$A_1 \xrightarrow{\rho_1} A_2 \xrightarrow{\rho_2} A_3 \xrightarrow{\rho_3} A_4 \xrightarrow{\rho_4} A_5 \xrightarrow{\rho_5} A_6 \xrightarrow{\rho_6} A_7,$$

那麼

$$A_7 = H_6H_5H_4H_3H_2H_1A_1.$$

相應的行變換矩陣是

$$\begin{aligned} H_1&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-\frac12&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_2&= \begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},\\[0.8em] H_3&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ -2&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_4&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&-2&1 \end{bmatrix},\\[0.8em] H_5&= \begin{bmatrix} 1&0&-1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_6&= \begin{bmatrix} 1&-1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

它們的乘積是

$$J=H_6H_5H_4H_3H_2H_1= \begin{bmatrix} -1&-\frac32&-1&0\\ 1&0&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&-2&-2&1 \end{bmatrix}.$$

有效率的做法，是把六個行變換依次作用在 $I_4$ 上，而不是手動展開六個因子。 矩陣 $J$ 記錄了整串步驟對行的總作用：

$$A_7=JA_1.$$

這個等式也可用來檢查乘積次序。如果把第一步放在最左邊，所得乘積會描述另一 串不同的操作。

反向行變換與逆矩陣

每個初等行變換都有反向操作：

• $R_j \leftarrow R_j + cR_i$ 的反向操作是 $R_j \leftarrow R_j - cR_i$；
• $R_i \leftarrow cR_i$（其中 $c \ne 0$）的反向操作是 R_i \leftarrow (1/c)R_i；
• 交換兩行的反向操作仍然是同一次交換。

這給出一個乾淨的矩陣敘述。

例如，若

$$E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

表示 $R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$，則

$$E^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

表示 $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$。

這就是行變換可逆的代數原因，也解釋了為甚麼行化簡和可逆矩陣有密切關係。

為甚麼這個觀點之後會有用？

如果 $B$ 與 $A$ 行等價，則存在一串有限的行變換把 $A$ 變成 $B$。因此存在 某個行變換矩陣的乘積 $E$，使得

$$B = EA.$$

由於每個行變換矩陣都可逆，乘積 $E$ 也可逆。因此行等價既可以用操作步驟來 描述，也可以用左邊乘上一個可逆矩陣的等式來描述。

這個觀點會在多個地方使用：

• 一個方陣若行等價於 $I_n$，它就是若干行變換矩陣的乘積；
• 行變換保留齊次方程組的解資訊，因為它等同於左乘可逆矩陣；
• 行列式關於行變換的規則，可以透過初等矩陣來表述；
• 秩和基底的論證可以使用行化簡，同時清楚知道原矩陣的列本身通常已被改變。

常見錯誤

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練習

相關筆記

這一頁建立在 2.2 增廣矩陣與行變換 和 3.1 矩陣乘法與單位矩陣 之上。它也準備了 5.1 可逆矩陣 和 7.2 行變換、乘積與可逆性 中使用的行化簡代數觀點。