6.8 基底延伸與基變換

前幾節已經說明甚麼是基底，以及維數如何使用。本節補上使整個理論可靠的結構定理。

背後有三個問題：

1. 若一個子空間不是零空間，它是否一定有基底？
2. 若已經有一組基底，甚麼時候可以用新的線性無關向量替換部分舊基向量？
3. 若兩組不同基底描述同一個子空間，它們的坐標系統如何互相轉換？

這些答案不只是形式背景。它們解釋為甚麼維數是良定的、為甚麼線性無關組可以延伸成基底、為甚麼張成組可以刪去冗餘向量，以及為甚麼之後的對角化本質上是坐標變換。

為甚麼基底存在性需要證明

對 $R^n$ 這類熟悉空間，標準基底很容易寫出來。但對任意子空間 $W \subseteq R^n$，基底未必一眼可見。子空間可能由方程、張成式，或像 $x_1+x_2+x_3=0$ 這類條件給出。

第一個定理說明情況仍然受控制。

證明是一個受控的選取過程。

先在 $W$ 中選一個非零向量 $u_1$。如果 $W$ 中每個向量都已經是 $u_1$ 的倍數，則 $\{u_1\}$ 就是一組基底。若不是，便選一個不在 $Span\{u_1\}$ 內的向量 $u_2\in W$。這樣 $u_1,u_2$ 線性無關。

同樣地繼續。到第 j 步，如果目前的 $u_1,\ldots,u_j$ 還未張成 $W$，就選一個不在目前張成之中的新向量 $u_{j+1}\in W$。因為新向量不是舊向量的線性組合，所以新的列表仍然線性無關。

這個過程不可能無限進行：$R^n$ 中不可能有超過 n 個線性無關向量。因此它必定停止；停止時，所選向量已張成 $W$。它們又按構造線性無關，所以形成基底。

替換定理的思想

基底存在性的證明是在增長一個線性無關列表。替換定理則說明相反方向的操作：把新的線性無關向量放入舊基底，同時刪去適當的舊基向量。

這個定理精確表達了以下說法：

線性無關的新向量，可以替換同樣數目的舊基向量。

證明先看一個向量的情況。假設 $t_1,\ldots,t_q$ 是基底，而

$$u=\alpha_1t_1+\cdots+\alpha_qt_q,\qquad u\ne 0.$$

至少有一個係數非零。若 $\alpha_1\ne 0$，則

$$t_1=\frac{1}{\alpha_1}u -\frac{\alpha_2}{\alpha_1}t_2-\cdots -\frac{\alpha_q}{\alpha_1}t_q.$$

所以

$$u,t_2,\ldots,t_q$$

張成與舊基底相同的空間，而且這組向量亦線性無關。若第一個非零係數不是 $\alpha_1$，只需先重排舊基向量，再做同一個論證。

完整的替換定理就是不斷重複這個一步替換。每個新的線性無關向量替換一個舊基向量，而線性無關性保證過程不會中途失敗。

維數的後果

替換定理給出維數理論的嚴格基礎。

理由是把替換定理用兩次。若 $B$ 有 p 個向量而 $C$ 有 q 個向量，則 $B$ 在由 $C$ 作基底的空間中線性無關，所以 $p\le q$。反過來又得 $q\le p$。因此 $p=q$。

以下常用結論也立即成立。

這些不是互不相關的技巧。它們都在說同一件事：基底是一個沒有冗餘而又能張成全空間的列表，其大小正正是維數。

有序基底與坐標向量

基底作為集合，說明可用哪些向量。有序基底還固定了它們的次序。次序會影響坐標。

若

$$B=(b_1,\ldots,b_p)$$

是 $W$ 的有序基底，則每個 $x\in W$ 都有唯一表示

$$x=\alpha_1b_1+\cdots+\alpha_pb_p.$$

x 在基底 $B$ 下的坐標向量是

$$[x]_B= \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_p \end{bmatrix}.$$

即使基向量相同，只要改變排列次序，坐標向量也會改變。

基變換定理

現在假設同一個 p 維子空間 $W$ 有兩組有序基底：

$$U=(u_1,\ldots,u_p),\qquad V=(v_1,\ldots,v_p).$$

寫成基底矩陣

$$\mathcal U=[u_1\ \cdots\ u_p], \qquad \mathcal V=[v_1\ \cdots\ v_p].$$

這句話要小心讀。矩陣 $S$ 不是在環境空間中移動向量 x，而是把 $U$ 基底下的坐標列轉換成 $V$ 基底下的坐標列：

$$[x]_V=S[x]_U.$$

由於 $S$ 可逆，反方向轉換是

$$[x]_U=S^{-1}[x]_V.$$

若 $W=R^n$，則 $\mathcal U$ 和 $\mathcal V$ 都是方形可逆矩陣，公式特別簡潔：

$$S=\mathcal V^{-1}\mathcal U.$$

若 $W$ 是真子空間，$\mathcal V$ 通常不是方陣，因此應逐列解

$$\mathcal V s_j=u_j.$$

例子：在平面內轉換坐標

令

$$u_1=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}, \quad u_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}, \quad v_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, \quad v_2=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}.$$

令 $W=Span\{u_1,u_2\}$。可以驗證 $(u_1,u_2)$ 和 $(v_1,v_2)$ 都是同一個平面 $W$ 的有序基底。

向量等式

$$u_1=v_1+v_2,\qquad u_2=-v_1+v_2$$

合併成矩陣等式

$$\mathcal U=\mathcal V \begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}.$$

因此

$$S= \begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}$$

就是從有序基底 $U$ 轉到有序基底 $V$ 的基變換矩陣。

例如若

$$[x]_U= \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix},$$

則

$$[x]_V =S[x]_U = \begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}.$$

所以

$$x=3u_1+2u_2=v_1+5v_2.$$

實際向量沒有改變，改變的只是它的坐標描述。

如何計算基變換矩陣

可按以下流程處理。

1. 先決定轉換方向。若要由 $[x]_U$ 求 $[x]_V$，需要的是 $\mathcal U=\mathcal V S$。
2. 對每個 $u_j$，解 $\mathcal V s_j=u_j$。
3. 把解向量放成矩陣的列：

$$S=[s_1\ \cdots\ s_p].$$

若 $\mathcal V$ 是方陣且可逆，這就是

$$S=\mathcal V^{-1}\mathcal U.$$

若 $\mathcal V$ 不是方陣，就直接解各個線性系統。因為 $v_j$ 是同一子空間的基底，解必定存在且唯一。

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練習

閱讀前置

本節依賴 6.5 基底與維數 以及 6.4 線性相依與線性無關。