1.2 讀懂定理與證明語言

線性代數不只是計算課。課程很快會使用定義、定理、引理、證明、等價條件與反 例等語言。若這些語言讀得鬆散，公式也許仍然眼熟，但數學內容會變得不穩定。

本節是 MATH1030 證明語言的閱讀指南。它不是另一門邏輯課，而是實用工具：當 後面的筆記說若干條件等價、某個向量唯一，或某個命題是錯的，你要知道那到底 是哪一類主張，以及應該用哪一類論證支撐。

命題、假設與結論

本課很多定理都有相同的邏輯形狀：

定理不是單獨宣稱假設一定成立。它說的是：每當某個情況滿足假設，該情況便同 時滿足結論。

例如命題

若一個方陣可逆，則它的 RREF 是單位矩陣。

並不是說每個方陣都可逆，也不是說任何矩陣的 RREF 是單位矩陣時都可不經證明 地反推同一件事。它首先是一個由一個性質推出另一個性質的條件命題。

讀定理時，先把以下四件事分清楚：

1. 討論的是甚麼物件？
2. 這些物件被加上了甚麼假設？
3. 定理保證的結論是甚麼？
4. 你現在是正向使用定理、反向使用定理，還是在使用一個等價定理？

逆命題是另一個命題

「若 $P$，則 $Q$」的逆命題是「若 $Q$，則 $P$」。兩者不是同一個命題，一個 可以為真而另一個為假。

這就是為何 MATH1030 常把結果寫成字典：

這表示幾個命題同真同假。實際解題時，你可以用其中一個推出另一個。但若要證 明整個字典，便要寫出足夠的蘊涵，把所有命題連起來，而不是只把它們列成清單。

逆否命題與直接證明

「若 $P$，則 $Q$」的逆否命題是「若非 $Q$，則非 $P$」。條件命題與其逆否命 題邏輯等價。

不過，在本課中，很多論證最適合直接證明。矩陣與向量證明通常牽涉等式，而等 式最容易在「由假設出發，逐步推出結論」的寫法中保持清楚。

例如要證明某矩陣的零空間是子空間，可從 $Au=0$ 與 $Av=0$ 出發，檢查封閉性：

$$A(u+v)=Au+Av=0+0=0, \qquad A(cu)=cAu=c0=0.$$

論證有效，是因為每一步計算都緊扣零空間的定義條件。

定義不是定理

定義引入一個名稱或一個條件。它不是需要證明的真偽命題。一旦定義被引入，後 續論證便可以使用它。

例如「矩陣 $A$ 對稱」的定義是 $A^T=A$。要證明一個具體矩陣對稱，便計算其 轉置並核對這個條件；要在後文使用對稱性，則可根據定義把 $A^T$ 換成 $A$。

量詞、存在與唯一

「對所有」、「存在」、「至多一個」、「唯一」這些字眼都帶有數學內容，不是 修飾詞。

在線性代數中這個拆分很重要。當我們說某向量相對於有序基的坐標唯一，存在性 說每個向量都能用該基表示；唯一性說同一個向量不可能有兩組不同係數。

反例用來否定全稱命題

很多錯誤命題可由反例推翻。反例必須滿足原命題的假設，但不滿足其結論。

準備反例往往是最難的部分；正式寫出來時，則要清楚完成三步：

1. 指定那個具體物件；
2. 驗證它滿足假設；
3. 驗證它不滿足結論。

之後應如何讀筆記

實際閱讀時，可按以下流程：

1. 每讀一個定理，先標出假設與結論；
2. 除非有等價定理，否則不要倒轉蘊涵；
3. 把定義當作可檢查、可使用的判準；
4. 把存在性與唯一性分開；
5. 面對錯誤的全稱命題時，用反例推翻。

練習

練習 1

某結果說：

若方陣 $A$ 的各欄線性無關，則 $A$ 可逆。

寫出它的逆命題。原命題本身是否已證明逆命題？

練習 2

推翻以下命題：

若實數 x 滿足 $x^2>0$，則 $x>0$。