2.5 行阶梯形的存在性

前面的笔记说明如何做高斯消元，以及如何读取化简后的结果。本节问一个更理论 化的问题：

为什么每个矩阵都可以期望有一个行阶梯形，甚至有一个最简行阶梯形？

这个问题很重要，因为行化简会在整个课程中反复出现：解方程组、找自由变量、 测试张成、测试线性无关、求逆、求秩、建立基，都要用到它。若行阶梯形只是一 堆例子，后面的理论便没有稳固基础。下面的定理说明：算法确实有保证能到达的 目标。

要证明什么

第一个定理说高斯消元总能到达阶梯形；第二个定理说，到达阶梯形后，进一步清 理主元列总能到达最简形式。

证明属于可选内容，但它有价值，因为它展示行化简不是单纯食谱，而是一个有限 而有结构的论证。

对行数作归纳

REF 存在性的证明使用行数归纳。

基本情况很直接。一行矩阵本身已经是行阶梯形：它要么是零行，要么唯一非零行 的第一个非零项就是首项。

归纳步骤中，假设 P(k) 成立，并令 $A$ 是一个有 $k+1$ 行的矩阵。

若 $A$ 是零矩阵，没有事情要证。否则，找出 $A$ 中最左边的非零列。在该列 中，找出最上方的非零项；如有需要，将该行交换到第一行。把新的第一个主元值 记为 $\beta$。

接着，用第一行把同一列中 $\beta$ 下方所有项清成零。矩阵便有分块形状

$$\begin{bmatrix} O_{1\times(j-1)} & \beta & u \\ O_{k\times(j-1)} & 0_k & V \end{bmatrix},$$

其中 $V$ 是一个有 k 行的矩阵。

现在可对 $V$ 使用归纳假设。它可被行化简成某个行阶梯形 V'。把相应行变换 作用在整个矩阵的下方 k 行，得到

$$\begin{bmatrix} O_{1\times(j-1)} & \beta & u \\ O_{k\times(j-1)} & 0_k & V' \end{bmatrix}.$$

这个矩阵是行阶梯形：第一个主元在第 j 列，其下方全为零；下方分块则由归 纳假设已具备阶梯结构。

这个证明的重点不是背诵分块记号，而是看见递归结构：先放置一个主元，清掉其 下方项，再把剩下的小矩阵交给同一个定理处理。

由 REF 到 RREF

第二部分从一个已经是行阶梯形的矩阵出发，目标是证明它可以在保持行等价的情 况下变成最简行阶梯形。

此时归纳的参数是秩，也就是行阶梯形中的非零行数。

基本情况 $r=0$ 立即成立：秩为 0 的行阶梯形是零矩阵，而零矩阵已经是 RREF。

归纳步骤中，假设秩 k 的情况已成立，并令 $A$ 是秩 $k+1$ 的行阶梯形。先 看最后一个主元列左边的所有列。这些列形成一个秩为 k 的较小行阶梯分块， 所以可用归纳假设把左方分块化成最简形式。

然后把最后一个主元化成 1，并清掉它上方的项。由于行阶梯形在相关位置已有 零，这些行变换不会破坏左方已处理好的主元列。

最后所得矩阵的每个主元列都只有一个非零项，而该项等于 1，所以它是 RREF。

由 REF 清理到 RREF 时主元列保持不变

上述证明其实给出一个很有用的额外结论。

因此，一旦矩阵已经在 REF 中，主元列已经可读出。继续由 REF 化成 RREF 只是 清理主元列，不会把主元移到新列。

本节没有证明什么

本节证明的是存在性：每个矩阵至少可到达某个 REF，也至少可到达某个 RREF。

另有一个更强的重要定理会在秩被视为良定不变量时使用：一个矩阵的 RREF 是唯 一的。唯一性比存在性更强。存在性说目标可以到达；唯一性说所有合法化简路径 都会到达同一个最简目标。

普通计算时，主要记住以下后果：

1. 消元总能整理成 REF；
2. REF 总能再清理成 RREF；
3. 在 REF 中读到的主元列，会与对应 RREF 中的主元列相同；
4. 行等价会保留增广方程组的解集。

常见错误

快速检查

练习

练习 1

说明以下矩阵为什么已经是 REF，并指出其主元列：

$$\begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 5 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

练习 2

假设某行阶梯形的主元列是第 1、4、5 列。它进一步化成 RREF 后，主元 列会是什么？

相关笔记

本附录应在 2.3 高斯消元与最简行阶梯形 之后阅读，然后再把行化简大量用于张成、线性无关、秩与逆矩阵计算。