3.3 行变换矩阵

行变换最初是矩阵上的操作步骤：交换两行、把一行乘以非零标量、把一行的倍数 加到另一行。这些操作已经可以用来解方程组，因为它们保留解集。

但同一件事还有一个更有结构的读法：每一个初等行变换，都等同于左乘某个特别 的方阵。这个观点很重要，因为它把一串行变换转成普通的矩阵等式。之后讨论 行化简、可逆性、秩、行列式和基时，这正是程序性操作和代数结构之间的桥。

核心想法：先把行变换作用在单位矩阵上

假设一个行变换 $\rho$ 作用于有 p 行的矩阵。先从单位矩阵 $I_p$ 开始， 对 $I_p$ 做同一个行变换，所得矩阵记作 $E_\rho$。

这个定义有用，是因为以下定理。

这里必须是左乘。行变换改变的是行，会把新行写成旧行的线性组合；左乘正是把 $A$ 的新行写成旧行的线性组合。右乘则会混合列，不是同一件事。

三个基本例子

三种合法行变换，对应三种行变换矩阵。

一串行变换就是一个矩阵乘积

真正的用途不只是表示单一步骤，而是把整串行变换写成一个矩阵乘积。

这个公式中的顺序很重要。第一个行变换最靠近 $A_1$，因为它最先作用：

$$A_2 = E_{\rho_1}A_1, \qquad A_3 = E_{\rho_2}A_2 = E_{\rho_2}E_{\rho_1}A_1.$$

读懂较长的行变换乘积

在作业式题目里，行变换经常会以一长串步骤出现。重点不是盲目相乘很多矩阵， 而是把三种对象分清楚：

• 正在被变换的矩阵 $A_1,A_2,\ldots,A_{k+1}$；
• 每一步对应的行变换矩阵 $H_1,H_2,\ldots,H_k$；
• 合并后的单一左乘矩阵 $J=H_k\cdots H_2H_1$。

以下是一个四行矩阵的典型例子。假设

$$\begin{aligned} \rho_1 &: R_2 \leftarrow -\frac12 R_2,\\ \rho_2 &: R_1 \leftrightarrow R_2,\\ \rho_3 &: R_3 \leftarrow R_3-2R_1,\\ \rho_4 &: R_4 \leftarrow R_4-2R_3,\\ \rho_5 &: R_1 \leftarrow R_1-R_3,\\ \rho_6 &: R_1 \leftarrow R_1-R_2. \end{aligned}$$

如果

$$A_1 \xrightarrow{\rho_1} A_2 \xrightarrow{\rho_2} A_3 \xrightarrow{\rho_3} A_4 \xrightarrow{\rho_4} A_5 \xrightarrow{\rho_5} A_6 \xrightarrow{\rho_6} A_7,$$

那么

$$A_7 = H_6H_5H_4H_3H_2H_1A_1.$$

相应的行变换矩阵是

$$\begin{aligned} H_1&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-\frac12&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_2&= \begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix},\\[0.8em] H_3&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ -2&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_4&= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&-2&1 \end{bmatrix},\\[0.8em] H_5&= \begin{bmatrix} 1&0&-1&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}, & H_6&= \begin{bmatrix} 1&-1&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

它们的乘积是

$$J=H_6H_5H_4H_3H_2H_1= \begin{bmatrix} -1&-\frac32&-1&0\\ 1&0&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&-2&-2&1 \end{bmatrix}.$$

有效率的做法，是把六个行变换依次作用在 $I_4$ 上，而不是手动展开六个因子。 矩阵 $J$ 记录了整串步骤对行的总作用：

$$A_7=JA_1.$$

这个等式也可用来检查乘积顺序。如果把第一步放在最左边，所得乘积会描述另一 串不同的操作。

反向行变换与逆矩阵

每个初等行变换都有反向操作：

• $R_j \leftarrow R_j + cR_i$ 的反向操作是 $R_j \leftarrow R_j - cR_i$；
• $R_i \leftarrow cR_i$（其中 $c \ne 0$）的反向操作是 R_i \leftarrow (1/c)R_i；
• 交换两行的反向操作仍然是同一次交换。

这给出一个干净的矩阵表述。

例如，若

$$E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

表示 $R_2 \leftarrow R_2 + 3R_1$，则

$$E^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ -3 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

表示 $R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$。

这就是行变换可逆的代数原因，也解释了为什么行化简和可逆矩阵有密切关系。

为什么这个观点之后会有用？

如果 $B$ 与 $A$ 行等价，则存在一串有限的行变换把 $A$ 变成 $B$。因此存在 某个行变换矩阵的乘积 $E$，使得

$$B = EA.$$

由于每个行变换矩阵都可逆，乘积 $E$ 也可逆。因此行等价既可以用操作步骤来 描述，也可以用左边乘上一个可逆矩阵的等式来描述。

这个观点会在多个地方使用：

• 一个方阵若行等价于 $I_n$，它就是若干行变换矩阵的乘积；
• 行变换保留齐次方程组的解信息，因为它等同于左乘可逆矩阵；
• 行列式关于行变换的规则，可以通过初等矩阵来表述；
• 秩和基的论证可以使用行化简，同时清楚知道原矩阵的列本身通常已被改变。

常见错误

快速检查

练习

相关笔记

这一页建立在 2.2 增广矩阵与行变换 和 3.1 矩阵乘法与单位矩阵 之上。它也准备了 5.1 可逆矩阵 和 7.2 行变换、乘积与可逆性 中使用的行化简代数观点。