4.2 集合语言与解集

线性代数研究的往往不是单一向量，而是一整个向量或矩阵的集合：一个方程组的 所有解、一组向量的所有线性组合、满足某条矩阵方程的所有矩阵，或者被某个矩 阵送到零向量的所有向量。

集合语言就是精确表达这些对象的语法。若没有它，“同一个解集”、“属于零 空间”、“这些向量张成同一个子空间”这些说法就会太含糊，难以支撑证明。

为什么线性代数需要集合

做行化简时，我们不是要保留方程的外观，而是要保留解的集合。两个方程 组可以看起来不同，却有完全相同的解。

同样地，把一组张成向量缩短时，我们不是要保留原来的列表，而是要保留由这 个列表能够生成的向量集合。

符号 $\in$ 应读作“属于”。它不同于子集语言。一个向量可以属于某个集合； 一个较小的集合可以是另一个集合的子集。

Ambient space

写下一个线性代数集合之前，先确认正在收集哪一类对象。

• $R^n$ 是所有有 n 个分量的实列向量所成的集合。
• $M_{m,n}(R)$ 是所有实 $m \times n$ 矩阵所成的集合。
• $P_n$ 是所有次数不超过 n 的实系数多项式所成的集合。

ambient space 很重要。式子

$$\{x : Ax=b\}$$

若没有说明 x 的大小与类型，就不够完整。较严谨的写法是

$$\{x\in R^n : Ax=b\}.$$

冒号左边说明对象住在哪个集合；冒号右边说明挑选这些对象的条件。

解集

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，且 $b\in R^m$。

因此 $t\in S(A,b)$ 有精确意思：

$$t\in R^n \qquad\text{且}\qquad At=b.$$

这个记号也能处理三种熟悉情况。

• 若方程组有唯一解 $x_0$，则 $S(A,b)=\{x_0\}$。
• 若方程组不一致，则 $S(A,b)=\varnothing$。
• 若方程组有无限多个解，则 S(A,b) 通常用参数式描述。

零空间与张成都是集合

课程中有两种集合构造反复出现。

这就是齐次方程组 $Ax=0$ 的解集。

张成是一个集合，不是原来的列表。重排向量不会改变张成；加入一个本来已经 是旧向量线性组合的向量，也不会改变张成。

堆叠矩阵中的 subset 证明

作业题常要求你直接根据定义证明集合包含，而不是引用较大的定理。下面的模式 很值得掌握。

集合相等需要两个方向

在证明中，这通常变成两个包含关系：

1. 证明 $S$ 的每个元素都属于 $T$；
2. 证明 $T$ 的每个元素都属于 $S$。

只证明第一个方向，只能得到 $S\subseteq T$，不能得到相等。

同一系数矩阵的解集交集

集合语言也能清楚说明一个常用事实：若 $Ax=b$ 和 $Ax=c$ 的解集有一个共同 向量，则两个右端向量其实必须相同。

反过来读也很重要：对固定矩阵 $A$，两个一致系统 $Ax=b$ 与 $Ax=c$ 的解集 要么不相交，要么完全相同。它们不可能只共享一个解，却在其他解上不同。

一个核心张成论证

下面的论证在线性代数中会不断出现，只是常常藏在较大的计算里。

这不是某个数值例子的技巧，而是说明为什么从张成列表中删去冗余向量是合法 的。

例子：证明两个 span 相等

令

$$u_1=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}2\\3\\5\end{bmatrix}.$$

因为

$$v=2u_1+3u_2,$$

上面的定理给出

$$\operatorname{Span}\{u_1,u_2,v\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.$$

向量 v 可能仍然有计算上的用途，但它没有扩大可生成的向量集合。

常见错误

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练习

先读这些

本节延伸 1.1 方程与解集， 并准备 6.3 线性组合与张成 中使用的集合相等论证。