1.2 读懂定理与证明语言

线性代数不只是计算课。课程很快会使用定义、定理、引理、证明、等价条件与反 例等语言。若这些语言读得松散，公式也许仍然眼熟，但数学内容会变得不稳定。

本节是 MATH1030 证明语言的阅读指南。它不是另一门逻辑课，而是实用工具：当 后面的笔记说若干条件等价、某个向量唯一，或某个命题是错的，你要知道那到底 是哪一类主张，以及应该用哪一类论证支撑。

命题、假设与结论

本课很多定理都有相同的逻辑形状：

定理不是单独宣称假设一定成立。它说的是：每当某个情况满足假设，该情况便同 时满足结论。

例如命题

若一个方阵可逆，则它的 RREF 是单位矩阵。

并不是说每个方阵都可逆，也不是说任何矩阵的 RREF 是单位矩阵时都可不经证明 地反推同一件事。它首先是一个由一个性质推出另一性质的条件命题。

读定理时，先把以下四件事分清楚：

1. 讨论的是什么对象？
2. 这些对象被加上了什么假设？
3. 定理保证的结论是什么？
4. 你现在是正向使用定理、反向使用定理，还是在使用一个等价定理？

逆命题是另一个命题

“若 $P$，则 $Q$”的逆命题是“若 $Q$，则 $P$”。两者不是同一个命题，一个可 以为真而另一个为假。

这就是为何 MATH1030 常把结果写成字典：

这表示几个命题同真同假。实际解题时，你可以用其中一个推出另一个。但若要证 明整个字典，就要写出足够的蕴涵，把所有命题连起来，而不是只把它们列成清单。

逆否命题与直接证明

“若 $P$，则 $Q$”的逆否命题是“若非 $Q$，则非 $P$”。条件命题与其逆否命 题逻辑等价。

不过，在本课中，很多论证最适合直接证明。矩阵与向量证明通常牵涉等式，而等 式最容易在“由假设出发，逐步推出结论”的写法中保持清楚。

例如要证明某矩阵的零空间是子空间，可从 $Au=0$ 与 $Av=0$ 出发，检查封闭性：

$$A(u+v)=Au+Av=0+0=0, \qquad A(cu)=cAu=c0=0.$$

论证有效，是因为每一步计算都紧扣零空间的定义条件。

定义不是定理

定义引入一个名称或一个条件。它不是需要证明的真伪命题。一旦定义被引入，后 续论证便可以使用它。

例如“矩阵 $A$ 对称”的定义是 $A^T=A$。要证明一个具体矩阵对称，便计算其 转置并核对这个条件；要在后文使用对称性，则可根据定义把 $A^T$ 换成 $A$。

量词、存在与唯一

“对所有”、“存在”、“至多一个”、“唯一”这些字眼都带有数学内容，不是修饰词。

在线性代数中这个拆分很重要。当我们说某向量相对于有序基的坐标唯一，存在性 说每个向量都能用该基表示；唯一性说同一个向量不可能有两组不同系数。

反例用来否定全称命题

很多错误命题可由反例推翻。反例必须满足原命题的假设，但不满足其结论。

准备反例往往是最难的部分；正式写出来时，则要清楚完成三步：

1. 指定那个具体对象；
2. 验证它满足假设；
3. 验证它不满足结论。

之后应如何读笔记

实际阅读时，可按以下流程：

1. 每读一个定理，先标出假设与结论；
2. 除非有等价定理，否则不要倒转蕴涵；
3. 把定义当作可检查、可使用的判准；
4. 把存在性与唯一性分开；
5. 面对错误的全称命题时，用反例推翻。

练习

练习 1

某结果说：

若方阵 $A$ 的各列线性无关，则 $A$ 可逆。

写出它的逆命题。原命题本身是否已经证明逆命题？

练习 2

推翻以下命题：

若实数 x 满足 $x^2>0$，则 $x>0$。