6.8 基底延伸与基变换

前几节已经说明什么是基底，以及维数如何使用。本节补上使整个理论可靠的结构定理。

背后有三个问题：

1. 若一个子空间不是零空间，它是否一定有基底？
2. 若已经有一组基底，什么时候可以用新的线性无关向量替换部分旧基向量？
3. 若两组不同基底描述同一个子空间，它们的坐标系统如何互相转换？

这些答案不只是形式背景。它们解释为什么维数是良定的、为什么线性无关组可以延伸成基、为什么张成组可以删去冗余向量，以及为什么之后的对角化本质上是坐标变换。

为什么基底存在性需要证明

对 $R^n$ 这类熟悉空间，标准基很容易写出来。但对任意子空间 $W \subseteq R^n$，基未必一眼可见。子空间可能由方程、张成式，或像 $x_1+x_2+x_3=0$ 这类条件给出。

第一个定理说明情况仍然受控制。

证明是一个受控的选取过程。

先在 $W$ 中选一个非零向量 $u_1$。如果 $W$ 中每个向量都已经是 $u_1$ 的倍数，则 $\{u_1\}$ 就是一组基底。若不是，便选一个不在 $Span\{u_1\}$ 内的向量 $u_2\in W$。这样 $u_1,u_2$ 线性无关。

同样地继续。到第 j 步，如果目前的 $u_1,\ldots,u_j$ 还未张成 $W$，就选一个不在目前张成之中的新向量 $u_{j+1}\in W$。因为新向量不是旧向量的线性组合，所以新的列表仍然线性无关。

这个过程不可能无限进行：$R^n$ 中不可能有超过 n 个线性无关向量。因此它必定停止；停止时，所选向量已张成 $W$。它们又按构造线性无关，所以形成基。

替换定理的思想

基底存在性的证明是在增长一个线性无关列表。替换定理则说明相反方向的操作：把新的线性无关向量放入旧基底，同时删去适当的旧基向量。

这个定理精确表达了以下说法：

线性无关的新向量，可以替换同样数目的旧基向量。

证明先看一个向量的情况。假设 $t_1,\ldots,t_q$ 是基，而

$$u=\alpha_1t_1+\cdots+\alpha_qt_q,\qquad u\ne 0.$$

至少有一个系数非零。若 $\alpha_1\ne 0$，则

$$t_1=\frac{1}{\alpha_1}u -\frac{\alpha_2}{\alpha_1}t_2-\cdots -\frac{\alpha_q}{\alpha_1}t_q.$$

所以

$$u,t_2,\ldots,t_q$$

张成与旧基底相同的空间，而且这组向量也线性无关。若第一个非零系数不是 $\alpha_1$，只需先重排旧基向量，再做同一个论证。

完整的替换定理就是不断重复这个一步替换。每个新的线性无关向量替换一个旧基向量，而线性无关性保证过程不会中途失败。

维数的后果

替换定理给出维数理论的严格基础。

理由是把替换定理用两次。若 $B$ 有 p 个向量而 $C$ 有 q 个向量，则 $B$ 在由 $C$ 作基底的空间中线性无关，所以 $p\le q$。反过来又得 $q\le p$。因此 $p=q$。

以下常用结论也立即成立。

这些不是互不相关的技巧。它们都在说同一件事：基是一个没有冗余而又能张成全空间的列表，其大小正正是维数。

有序基底与坐标向量

基底作为集合，说明可用哪些向量。有序基底还固定了它们的次序。次序会影响坐标。

若

$$B=(b_1,\ldots,b_p)$$

是 $W$ 的有序基底，则每个 $x\in W$ 都有唯一表示

$$x=\alpha_1b_1+\cdots+\alpha_pb_p.$$

x 在基底 $B$ 下的坐标向量是

$$[x]_B= \begin{bmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_p \end{bmatrix}.$$

即使基底向量相同，只要改变排列次序，坐标向量也会改变。

基变换定理

现在假设同一个 p 维子空间 $W$ 有两组有序基底：

$$U=(u_1,\ldots,u_p),\qquad V=(v_1,\ldots,v_p).$$

写成基底矩阵

$$\mathcal U=[u_1\ \cdots\ u_p], \qquad \mathcal V=[v_1\ \cdots\ v_p].$$

这句话要小心读。矩阵 $S$ 不是在环境空间中移动向量 x，而是把 $U$ 基底下的坐标列转换成 $V$ 基底下的坐标列：

$$[x]_V=S[x]_U.$$

由于 $S$ 可逆，反方向转换是

$$[x]_U=S^{-1}[x]_V.$$

若 $W=R^n$，则 $\mathcal U$ 和 $\mathcal V$ 都是方形可逆矩阵，公式特别简洁：

$$S=\mathcal V^{-1}\mathcal U.$$

若 $W$ 是真子空间，$\mathcal V$ 通常不是方阵，因此应逐列解

$$\mathcal V s_j=u_j.$$

例子：在平面内转换坐标

令

$$u_1=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}, \quad u_2=\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}, \quad v_1=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}, \quad v_2=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}.$$

令 $W=Span\{u_1,u_2\}$。可以验证 $(u_1,u_2)$ 和 $(v_1,v_2)$ 都是同一个平面 $W$ 的有序基底。

向量等式

$$u_1=v_1+v_2,\qquad u_2=-v_1+v_2$$

合并成矩阵等式

$$\mathcal U=\mathcal V \begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}.$$

因此

$$S= \begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}$$

就是从有序基底 $U$ 转到有序基底 $V$ 的基变换矩阵。

例如若

$$[x]_U= \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix},$$

则

$$[x]_V =S[x]_U = \begin{bmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}.$$

所以

$$x=3u_1+2u_2=v_1+5v_2.$$

实际向量没有改变，改变的只是它的坐标描述。

如何计算基变换矩阵

可按以下流程处理。

1. 先决定转换方向。若要由 $[x]_U$ 求 $[x]_V$，需要的是 $\mathcal U=\mathcal V S$。
2. 对每个 $u_j$，解 $\mathcal V s_j=u_j$。
3. 把解向量放成矩阵的列：

$$S=[s_1\ \cdots\ s_p].$$

若 $\mathcal V$ 是方阵且可逆，这就是

$$S=\mathcal V^{-1}\mathcal U.$$

若 $\mathcal V$ 不是方阵，就直接解各个线性系统。因为 $v_j$ 是同一子空间的基底，解必定存在且唯一。

常见错误

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练习

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本节依赖 6.5 基底与维数 以及 6.4 线性相依与线性无关。