6.7 矩阵子空间、基与维数

到目前为止，多数基与维数例子都使用列向量。不过同样的思想也适用于矩阵， 因为矩阵可以相加，也可以乘以标量。换句话说，在某些向量空间里，矩阵本身 就是“向量”。

本节说明如何在 $M_{m,n}(R)$ 中阅读基与维数。这里 $M_{m,n}(R)$ 表示所有 实 $m \times n$ 矩阵所成的向量空间。

把矩阵视为向量

运算就是平常的矩阵加法与标量乘法：

$$A+B,\qquad \alpha A.$$

这些运算会保持大小不变。若 $A$ 与 $B$ 都是 $m \times n$ 矩阵，则每个线性 组合

$$\alpha A+\beta B$$

仍然是 $m \times n$ 矩阵。

这是 $M_{m,n}(R)$ 的子空间。理由与向量的 span 一样：线性组合的和以及标量 倍数仍是线性组合。

标准矩阵单元

对每个位置 (i,j)，定义 $E_{ij}$ 为 (i,j) 位置是 1、其他位置全是 0 的矩阵。

例如，$M_{2,2}(R)$ 的一组基是

$$E_{11}= \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}, \quad E_{12}= \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}, \quad E_{21}= \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}, \quad E_{22}= \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

每个 $2 \times 2$ 矩阵都能唯一写成

$$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} =aE_{11}+bE_{12}+cE_{21}+dE_{22}.$$

数字 mn 不是记忆技巧，而是 $m \times n$ 矩阵中独立位置的个数。

上三角矩阵

有些矩阵子空间是通过把某些位置强制为零而定义的。

只有主对角线上方及主对角线上的元素是自由的。因此，一组基由所有满足 $i\le j$ 的矩阵单元 $E_{ij}$ 给出。

对 $UT_3(R)$，一组基是

$$E_{11},E_{12},E_{13},E_{22},E_{23},E_{33}.$$

所以

$$\dim UT_3(R)=6.$$

一般而言，

$$\dim UT_n(R)=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$$

反对称矩阵

另一个重要子空间由涉及转置的方程定义。

反对称矩阵的主对角线元素必须为零，因为 $a_{ii}=-a_{ii}$ 推出 $a_{ii}=0$。主对角线上方的元素决定下方的元素，并且符号相反。

当 $n=3$ 时，每个反对称矩阵都有形式

$$\begin{bmatrix} 0&a&b\\ -a&0&c\\ -b&-c&0 \end{bmatrix}.$$

所以 $Skew_3(R)$ 的一组基是

$$E_{12}-E_{21},\qquad E_{13}-E_{31},\qquad E_{23}-E_{32},$$

并且

$$\dim Skew_3(R)=3.$$

一般而言，

$$\dim Skew_n(R)=\frac{n(n-1)}2.$$

矩阵与长列向量之间的字典

矩阵子空间之所以和向量子空间有相同行为，是因为我们可以把矩阵的各列叠成 一条长列向量。例如

$$\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix} \quad\longleftrightarrow\quad \begin{bmatrix} a\\c\\b\\d \end{bmatrix}.$$

这个转换只是 bookkeeping，但它说明了为什么线性组合、线性无关、基与维数 的定理可以转移到矩阵空间。矩阵之间的线性关系，会变成长列向量之间的线性 关系。

例子：对称 $2 \times 2$ 矩阵

令 $Sym_2(R)$ 为所有对称 $2 \times 2$ 矩阵所成的集合。一般元素有形式

$$\begin{bmatrix} a&b\\ b&c \end{bmatrix}.$$

因此

$$\begin{bmatrix} a&b\\ b&c \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} +b\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} +c\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}.$$

三个矩阵

$$\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}$$

张成 $Sym_2(R)$。

它们线性无关，因为

$$\alpha\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix} +\beta\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix} +\gamma\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$$

会通过比较元素迫使 $\alpha=0$、$\beta=0$、$\gamma=0$。所以它们形成一组 基，并且

$$\dim Sym_2(R)=3.$$

解题流程

当题目要求找矩阵子空间的基时：

1. 先写出子空间中一般矩阵的形式；
2. 找出自由参数；
3. 把矩阵拆成第一个参数乘上一个固定矩阵，再加上第二个参数乘上另一个固定 矩阵，如此类推；
4. 用这些固定矩阵作候选基；
5. 通过比较元素检查线性无关。

这就是把解集参数化并读出方向向量的方法，移到矩阵空间中使用。

常见错误

快速检查

练习

先读这些

本节使用 6.5 基与维数 以及 3.2 转置与特殊矩阵。