3.4 特殊矩陣

不是每個矩陣都需要一個特殊名稱。本節中的矩陣家族之所以值得命名，是因為 它們可見的元素排列會對運算施加限制。把這些限制寫成指標語言之後，我們往往 毋須逐項展開，就能預判乘積、轉置和行變換的結果。

本節的矩陣元素來自一個域 $\mathbb F$；在本課程多數例子中，可以把它 理解為 $\mathbb R$。除非另有說明，對角矩陣和三角矩陣都是方陣。

零元素的分佈能告訴我們甚麼

一般的 $n\times n$ 矩陣有 $n^2$ 個元素，單憑形狀不能確定其中任何一個。 特殊矩陣則在計算開始之前已經提供額外資訊。例如，若已知 $A$ 是下三角 矩陣，那麼所有滿足 $i\lt j$ 的元素 $a_{ij}$ 都必然等於零。這個簡短條件會 控制許多後續運算。

因此，命名矩陣家族不是為了分類本身，而是為了用一個名稱壓縮一組有用的 假設：

• 對角矩陣表示只有主對角線上的元素可能非零；
• 上三角矩陣或下三角矩陣表示主對角線的一側已經全部為零；
• 單位矩陣表示在相容的矩陣乘法中不改變另一個矩陣；
• 初等矩陣表示一次初等行變換已經編碼成矩陣乘法。

這些類別不是彼此分離的。對角矩陣同時是上三角矩陣和下三角矩陣；單位矩陣 是對角矩陣，因而也同時屬於兩個三角矩陣家族。同一個矩陣可以擁有多個有效 的結構標籤。

這種語言在證明中尤其有用。若要證明兩個下三角矩陣的乘積仍是下三角矩陣， 不必計算全部 $n^2$ 個元素。只須選取對角線上方任意一個元素，再把它的行乘 列和式分成兩個指標範圍，便能證明每一項都為零。這展示了結構資訊如何代替 窮舉計算。

識別矩陣類別

定義

對角、三角、單位與初等矩陣

設 $A=(a_{ij})\in\mathbb F^{n\times n}$。

若 $i\ne j$ 時總有 $a_{ij}=0$，則稱 $A$ 為對角矩陣，並記作

$$A=\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}).$$

若 $i\gt j$ 時總有 $a_{ij}=0$，亦即主對角線下方全為零，則稱 $A$ 為 上三角矩陣。若 $i\lt j$ 時總有 $a_{ij}=0$，亦即主對角線上方全為零， 則稱 $A$ 為下三角矩陣。因此，一個矩陣是對角矩陣，當且僅當它同時是 上三角矩陣和下三角矩陣。

單位矩陣 $I_n$ 是對角矩陣 $\operatorname{diag}(1,\ldots,1)$。

若一個 $n$ 階矩陣由 $I_n$ 經過恰好一次初等行變換得到，則稱它為 初等矩陣。三類初等行變換是：交換兩行；以一個非零純量乘某一行； 把某一行的純量倍數加到另一行。

「上方」和「下方」所指的是元素位置，而不是元素的正負號：位置 $(i,j)$ 在 $i\lt j$ 時位於主對角線上方，在 $i=j$ 時位於主對角線上，在 $i\gt j$ 時位於 主對角線下方。三角矩陣的對角元素不受定義限制，因此可以等於零。

下面的圖解按零元素的位置與運算作用整理這些名稱：哪些位置必須為零、為甚麼單位矩陣 不改變相乘的矩陣，以及一次行變換怎樣成為初等矩陣。可以先建立這幅固定 圖景，再使用互動分類器。

從可見形狀辨認特殊矩陣家族，再連到對角與三角乘積保持形狀、單位律，以及把行變換包裝成矩陣的初等矩陣。

1. 家族地圖

   對角、三角、單位、零矩陣和初等矩陣之所以有用，是因為它們的形狀本身帶有代數資訊。

2. 對角圖案

   對角矩陣的所有非對角元素都等於零，而且兩個對角矩陣相乘後仍是對角矩陣。

3. 三角圖案

   上三角矩陣在主對角線下方全為零，而上三角矩陣相乘會保留這一側的零元素。

4. 單位作用

   單位矩陣是在對角線上全為一的對角矩陣；相容乘法滿足 AI_n = A 與 I_mA = A。

5. 初等橋樑

   初等矩陣是由單位矩陣做一次初等行變換得到的矩陣。

6. 乘法側邊很重要

   在左邊乘上 E 會對 A 做相應行變換；在右邊乘上 E 則會做相應列變換。

特殊矩陣家族不只是名稱。對角、三角、單位、零矩陣和初等矩陣都把可見結構包裝起來，所以應先辨認形狀，再決定需要多少計算。

下面的互動區集中辨認對角、單位、對稱與反對稱矩陣。它的分類標籤並沒有 窮盡所有矩陣家族：在這組較窄的比較中標為「都不是」的矩陣，仍可能是 上三角或下三角矩陣。應用本節定義時，應檢查元素位置，而不能只依賴一個標籤。

哪些結構在運算後仍然保留

定理

轉置會交換兩個三角矩陣家族

設 $A\in\mathbb F^{n\times n}$。$A$ 是上三角矩陣，當且僅當 $A^T$ 是下三角矩陣；同樣，$A$ 是下三角矩陣，當且僅當 $A^T$ 是上三角矩陣。 因此，對角矩陣轉置之後仍是對角矩陣。

定理

三角矩陣對乘法封閉

設 $A,B\in\mathbb F^{n\times n}$。若兩者都是下三角矩陣，則 $AB$ 也是下三角矩陣；若兩者都是上三角矩陣，則 $AB$ 也是上三角矩陣。

作為特例，兩個同階對角矩陣的乘積仍是對角矩陣。

定理

左乘初等矩陣會執行相應的行變換

設 $E\in\mathbb F^{n\times n}$ 是對 $I_n$ 做一次初等行變換 $\mathcal R$ 所得的矩陣。對任意 $A\in\mathbb F^{n\times p}$， 乘積 $EA$ 都有定義，而且它正是把 $\mathcal R$ 作用於 $A$ 的各行後 所得的矩陣。

維數條件是定理的一部分。乘法封閉性要求兩個方陣同階；初等矩陣定理只要求 $A$ 的行數等於 $E$ 的階數，$A$ 的列數 $p$ 可以任意。

用必為零的元素完成證明

先證明轉置結論。設 $A$ 是上三角矩陣。為了證明 $A^T$ 是下三角矩陣， 任取它在主對角線上方的位置，即 $i\lt j$。根據轉置定義，

$$(A^T)_{ij}=a_{ji}.$$

因為 $j\gt i$，元素 $a_{ji}$ 位於上三角矩陣 $A$ 的主對角線下方，所以 $a_{ji}=0$。因此 $A^T$ 主對角線上方的每一個元素都為零。對 $A^T$ 重複同一論證並使用 $(A^T)^T=A$，便得到逆向結論。交換「上」和「下」即可 得到另一組等價關係。

乘法封閉性的證明需要明確處理求和指標。設 $A$ 與 $B$ 都是 $n\times n$ 下三角矩陣。任取主對角線上方的位置 $(i,j)$，所以 $i\lt j$。乘積在該位置的元素為

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$$

把 $k$ 的所有可能值分成兩個互不遺漏的情形：$k\le i$ 與 $k\gt i$。

• 若 $k\le i$，則 $k\le i\lt j$，從而 $k\lt j$。元素 $b_{kj}$ 位於下 三角矩陣 $B$ 的主對角線上方，所以 $b_{kj}=0$。
• 若 $k\gt i$，則元素 $a_{ik}$ 位於下三角矩陣 $A$ 的主對角線上方，所以 $a_{ik}=0$。

無論 $k$ 屬於哪一種情形，乘積項 $a_{ik}b_{kj}$ 都等於零。因此 $(AB)_{ij}=0$ 對每個 $i\lt j$ 都成立，故 $AB$ 是下三角矩陣。這個論證 適用於任意 $n$，並非只驗證 $3\times3$ 的圖案。上三角情形可以直接 仿照證明，也可以利用 $(AB)^T=B^TA^T$ 和轉置定理推出。

對角矩陣同時是上三角和下三角矩陣，所以兩個對角矩陣的乘積也同時屬於這 兩個家族，因而仍是對角矩陣。更具體地，

$$\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n) \operatorname{diag}(e_1,\ldots,e_n) = \operatorname{diag}(d_1e_1,\ldots,d_ne_n).$$

這個公式還說明同階對角矩陣彼此可交換，但不能據此斷言一般的上三角矩陣或 下三角矩陣也可交換。

同一套指標結構還給出三角乘積的對角元素。若 $A$ 與 $B$ 都是下三角矩陣， 則

$$(AB)_{ii}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki}=a_{ii}b_{ii}.$$

當 $k\lt i$ 時，$b_{ki}$ 位於 $B$ 的主對角線上方，因而為零；當 $k\gt i$ 時，$a_{ik}$ 位於 $A$ 的主對角線上方，亦為零。只有 $k=i$ 可能產生非零 貢獻。上三角矩陣的乘積同樣滿足這個對角元素公式；它會在後面把三角形狀與 行列式和可逆性連繫起來。

最後說明初等矩陣定理。$I_n$ 的各行是標準行向量，對這些行執行 $\mathcal R$ 後得到 $E$ 的各行。計算 $EA$ 時，同一組係數會把 $A$ 的各行組合成 $EA$ 的各行。分別檢查三類初等行變換，就會得到交換行、 非零倍數縮放行和行替換。因此，左乘所執行的正是定義 $E$ 時的那一次行變換。

先讀結構，再計算

例題

找出每一個適用的矩陣家族

考慮

$$D = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \qquad U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.$$

$D$ 的六個非對角元素都為零，所以它是對角矩陣，也同時是上三角矩陣 和下三角矩陣。此外，$D^T=D$，所以它亦是對稱矩陣。

$U$ 在 $i\gt j$ 的位置全部為零，因此是上三角矩陣。但 $u_{12}=2$ 等 主對角線上方的元素不為零，所以它不是對角矩陣，也不是下三角矩陣。

單位矩陣

$$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

是一個重要的對角矩陣，因而也是上三角矩陣、下三角矩陣和對稱矩陣。只要 正確讀出零元素的圖案，就不需要為這些分類分別計算。

例題

轉置三角矩陣並追蹤指標

設

$$U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}.$$

則

$$U^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}.$$

例如，零元素 $u_{31}=0$ 變成 $(U^T)_{13}=0$。一般而言，$U$ 中每個 $i\gt j$ 的主對角線下方位置都會變成 $U^T$ 中的上方位置 $(j,i)$。 這個具體計算是在說明指標證明，而不是代替一般證明。

再做一個數值封閉性檢查。令

$$L_1=\begin{bmatrix}1&0\\2&3\end{bmatrix}, \qquad L_2=\begin{bmatrix}-1&0\\4&5\end{bmatrix}.$$

則

$$L_1L_2= \begin{bmatrix} -1&0\\ 10&15 \end{bmatrix},$$

結果確實是下三角矩陣。這個例子只能提供驗證；適用於任意 $n$ 的結論仍須 依靠前面的指標證明。

例題

對角矩陣與初等矩陣：行列的分別

設

$$A= \begin{bmatrix} 1&-2&0\\ 3&4&5 \end{bmatrix}, \quad D_2=\operatorname{diag}(2,-1), \quad D_3=\operatorname{diag}(4,1,-2).$$

維數決定了對角矩陣能放在哪一側：$D_2A$ 是 $2\times2$ 與 $2\times3$ 相乘，$AD_3$ 是 $2\times3$ 與 $3\times3$ 相乘。 直接計算得

$$D_2A= \begin{bmatrix} 2&-4&0\\ -3&-4&-5 \end{bmatrix}, \qquad AD_3= \begin{bmatrix} 4&-2&0\\ 12&4&-10 \end{bmatrix}.$$

左乘對角矩陣會縮放各行：$D_2$ 的兩個對角元素分別乘第 1、2 行。右乘 對角矩陣會縮放各列：$D_3$ 的三個對角元素分別乘第 1、2、3 列。

再考慮初等矩陣

$$E= \begin{bmatrix} 1&0\\ -3&1 \end{bmatrix},$$

它由 $I_2$ 執行 $R_2\leftarrow R_2-3R_1$ 得到。於是

$$EA= \begin{bmatrix} 1&-2&0\\ 0&10&5 \end{bmatrix}.$$

第一行不變，第二行是 $-3[1,-2,0]+[3,4,5]=[0,10,5]$，與初等矩陣左乘定理完全一致。 此處的 $AE$ 沒有定義，因為內維數 $3$ 與 $2$ 不相等。

推論與適用邊界

零元素圖案也會被加法和純量乘法保留。若同階下三角矩陣 $A,B$ 滿足 $i\lt j$， 則

$$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=0+0=0, \qquad (cA)_{ij}=ca_{ij}=0.$$

所以它們的和、差與純量倍數仍是下三角矩陣；上三角和對角矩陣也有同樣性質。 此處相加的矩陣必須維數相同。加法只比較相同位置的元素，因而這個結論比會 混合整行與整列的乘法封閉性更直接。

「對乘法封閉」不等於「乘法可交換」。考慮兩個上三角矩陣

$$P=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad Q=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}.$$

雖然兩個乘積仍是上三角矩陣，但

$$PQ=\begin{bmatrix}2&3\\0&3\end{bmatrix}, \qquad QP=\begin{bmatrix}2&2\\0&3\end{bmatrix},$$

所以 $PQ\ne QP$。對角矩陣彼此可交換，卻未必與非對角的三角矩陣可交換。

定理也沒有說不同三角家族的乘積必然保持三角形狀。例如

$$U=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad L=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}, \qquad UL=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}.$$

$UL$ 既不是上三角矩陣，也不是下三角矩陣。封閉性要求兩個因子屬於同一個 三角家族，混合乘積必須按實際元素另行分析。

反覆使用乘法封閉性還可得到冪的結論：若 $T$ 是上三角矩陣，則每個正整數冪 $T^r$ 都是上三角矩陣；下三角和對角矩陣同理。這是一個歸納論證，並不表示 其他無關運算會保持同一方向。例如，轉置會把上三角形狀改成下三角形狀， 除非矩陣還有更強的限制。

單位矩陣與初等矩陣的作用

單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似普通乘法中的純量 $1$，但它的階數必須與 所處的一側相容。若 $A$ 是 $m\times n$ 矩陣，則

$$I_mA=A,\qquad AI_n=A.$$

當 $m\ne n$ 時，這兩個單位矩陣大小不同。令 $i=j$ 時 $\delta_{ij}=1$， 否則 $\delta_{ij}=0$。於是逐項計算為

$$(I_mA)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}\delta_{ik}a_{kj}=a_{ij}, \qquad (AI_n)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\delta_{kj}=a_{ij}.$$

這也解釋了單位矩陣為何不斷出現在求逆問題中：方陣 $A$ 可逆，當且僅當 存在 $A^{-1}$ 使 $A^{-1}A=AA^{-1}=I_n$。僅有三角形狀並不保證可逆； 對角線上含零元素的三角矩陣是奇異矩陣。

每個初等矩陣都可逆，因為定義它的行變換可以由另一次初等行變換撤銷。三類 初等矩陣的完整建構、多個初等矩陣的乘積及其逆矩陣，請繼續閱讀 3.5 初等行變換矩陣。

常見錯誤

常見錯誤

把「三角」當成「對角」

每個對角矩陣都同時是上三角矩陣和下三角矩陣。只屬於其中一個三角家族的 矩陣可以含有非零的非對角元素，所以逆命題不成立。

常見錯誤

檢查主對角線的錯誤一側

上三角矩陣要求 $i\gt j$ 的元素，也就是主對角線下方的元素為零；下三角 矩陣要求 $i\lt j$ 的上方元素為零。

常見錯誤

以為三角矩陣必然可逆

三角矩陣的對角元素可以為零。三角形狀本身不保證可逆；後面的行列式判據會 要求每個對角元素都非零。

常見錯誤

忽略維數或乘法所在的一側

若 $A\in\mathbb F^{m\times n}$，正確的恆等式是 $I_mA=A$ 和 $AI_n=A$。同樣，左乘初等矩陣執行行變換；右乘在有定義時作用於列，而不是行。

常見錯誤

把初等矩陣當成任意矩陣

初等矩陣必須由單位矩陣經過恰好一次初等行變換得到。多個初等矩陣的乘積 必然可逆，但未必仍是一個初等矩陣。

由矩陣形狀到代數性質

特殊矩陣把可見的零元素圖案轉化成可重用的代數資訊。對角矩陣的非對角元素 全為零，因此同時是上三角矩陣和下三角矩陣。轉置會交換兩個三角家族。 乘法保留每一個三角家族；對下三角乘積而言，把求和指標分為 $k\le i$ 與 $k\gt i$，便可迫使主對角線上方每一項至少有一個因子為零。

單位矩陣在相容乘法的兩側都不改變原矩陣，其中 $I_m$ 作用於 $m\times n$ 矩陣的行，$I_n$ 作用於它的列。對角矩陣從左、右相乘分別 縮放行和列。初等矩陣則記錄一次可逆的行變換；左乘會把這次變換同時作用到 目標矩陣的所有列。

快速檢查

思考檢查

為甚麼每個對角矩陣都同時是上三角矩陣和下三角矩陣？

請用「非對角元素」來回答。

解答 · 答案

對角矩陣的所有非對角元素都為零，所以主對角線下方的元素滿足上三角條件， 主對角線上方的元素亦滿足下三角條件。

思考檢查

單位矩陣在乘法中有甚麼作用？

請用一句話回答，並留意單位矩陣的階數取決於相乘的一側。

解答 · 答案

它不改變相容的矩陣：若 $A$ 是 $m\times n$ 矩陣，則 $I_mA=A$ 且 $AI_n=A$。

練習

思考檢查

為甚麼兩個 $3 \times 3$ 下三角矩陣的乘積仍是下三角矩陣？

不需要把所有元素乘出來；請解釋主對角線上方的元素為何保持為零。

解答 · 引導解答

對主對角線上方的位置 $(i,j)$，有 $i\lt j$。在 $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}a_{ik}b_{kj}$ 中，若 $k\le i$，則 $k\lt j$，所以 $b_{kj}=0$；若 $k\gt i$，則 $a_{ik}=0$。每個加項都為零， 所以 $AB$ 主對角線上方全部為零。同一論證把 $3$ 換成任意 $n$ 仍然成立。

思考檢查

請說明：為甚麼單位矩陣會同時屬於多個矩陣家族？

至少指出兩個家族，並根據元素說明理由。

解答 · 引導解答

單位矩陣的所有非對角元素都為零，所以它是對角矩陣，並因而同時是上三角 矩陣和下三角矩陣。又因為 $I_n^T=I_n$，它亦是對稱矩陣。

相關筆記

若要重溫上面使用的轉置規則，可先回看 3.3 轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣。

接著可讀 3.5 初等行變換矩陣，完整理解初等矩陣的代數。