3.1 矩陣加法、減法與純量乘法

由本節開始，矩陣不再只是盛載資料的表格，而是具有代數運算的數學對象。加法、減法與純量乘法的計算並不複雜，但它們的定義建立了往後線性代數所需的結構。因此，學習目標不只是算出答案，還要先判斷運算是否有定義，持續追蹤矩陣大小，並說明熟悉的代數規律為甚麼仍然成立。

為甚麼要匹配對應位置

矩陣把數量放在指定的行列位置。例如，各行可以代表產品，各列可以代表月份。只有當兩個表格的相同位置描述同一類資料時，把它們相加才有意義。以代數語言來說，這要求兩個矩陣大小完全相同，而且所有元素都來自同一個純量域。

條件確定後，三種運算都是逐格進行的：

• 加法結合對應位置的元素；
• 減法逐格量度一個矩陣相對於另一個矩陣的變化；
• 純量乘法用同一個比例因子縮放每個元素。

概念視角結構

一次觀察一個位置

逐項運算在位置 $(i,j)$ 的輸出，只使用輸入矩陣在同一位置的元素。這同時解釋了為甚麼要求大小相同，以及為甚麼輸出保持原來的大小：每個輸出位置都在各輸入中有對應位置。因此，證明可以先固定一個任意位置，再在那裏使用通常的純量代數。

矩陣乘法使用不同規則：一個輸出元素由一個矩陣的整行與另一個矩陣的整列共同構成。兩個 $2\times3$ 矩陣可以相加，它們的矩陣乘積卻沒有定義。檢查大小時必須跟隨具體運算；兩個矩陣適合相加，並不自動說明它們適合相乘。

定義逐項運算

定義

矩陣相等

設 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$。等式 $A=B$ 同時表示兩件事：$A$ 與 $B$ 大小相同，並且對每個容許的行指標 $i$ 與列指標 $j$，都有

$$a_{ij}=b_{ij}.$$

只核對少數幾個元素並不足夠；矩陣相等是涵蓋整個矩陣的逐項陳述。

固定正整數 $m,n$ 與一個純量域 $\mathbb F$，本課程通常取 $\mathbb R$。記號 $\mathbb F^{m\times n}$ 表示所有元素都屬於 $\mathbb F$ 的 $m\times n$ 矩陣所組成的集合。要求矩陣與純量處於同一個域，可以避免在沒有說明的情況下混用不同數系。若要把實矩陣放入更大的數系，必須先明確選定共同底域。

定義

矩陣加法、減法與純量乘法

設 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$ 均屬於 $\mathbb F^{m\times n}$，並設 $c\in\mathbb F$。

• 和 $A+B$ 是由 $[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ 定義的 $m\times n$ 矩陣。
• 純量倍 $cA$ 是由 $[cA]_{ij}=ca_{ij}$ 定義的 $m\times n$ 矩陣。
• $A$ 的加法逆元是 $-A=(-1)A$，而減法定義為 $A-B=A+(-B)$。

若兩個矩陣大小不同，加法與減法便沒有定義；純量乘法則必定保留原矩陣的大小。

定義

零矩陣

$\mathbb F^{m\times n}$ 中的零矩陣在此記作 $O$，它是每個元素都等於零的 $m\times n$ 矩陣。大小是零矩陣身份的一部分：$2\times 3$ 零矩陣與 $3\times 2$ 零矩陣並非同一個對象。

若 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$，逐格規則可以簡寫為

$$[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\qquad [A-B]_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\qquad [cA]_{ij}=ca_{ij}.$$

這三條公式亦提供了一種可靠的相等性證明方法：先確認兩個矩陣表達式大小相同，再比較任意 $(i,j)$ 位置的元素。

線性組合與封閉性

這三種運算經常一同出現。若 $A,B$ 屬於 $\mathbb F^{m\times n}$，$r,s$ 屬於 $\mathbb F$，則

$$rA+sB$$

稱為 $A$ 與 $B$ 的一個線性組合。它的 $(i,j)$ 元素是 $ra_{ij}+sb_{ij}$，大小仍為 $m\times n$。所得結果仍屬於 $\mathbb F^{m\times n}$，這種性質稱為封閉性。封閉性不只是一個術語，它保證我們用容許的對象計算後，不會突然離開正在研究的集合。

很多常見表達式都是線性組合的特例。差 $A-B$ 使用係數 $1$ 與 $-1$；在 $\mathbb R$ 上，平均值 $(1/2)A+(1/2)B$ 使用兩個和為一的係數；零矩陣則可以寫成 $0A$。係數可以為正、為負或為零。因此，「縮放」不一定把元素的絕對值放大：負係數亦會改變正負號，零係數則把所有元素變成零。

整個表達式仍受同型條件約束。若 $A$ 是 $2\times 3$ 矩陣而 $B$ 是 $3\times 2$ 矩陣，那麼即使 $rA$ 與 $sB$ 各自有定義，$rA+sB$ 仍然沒有定義。純量乘法不能修補維數不配合的問題。此外，純量與矩陣元素都必須在選定的共同底域中理解，使每一次純量乘法與加法都有一致意義。

手算時可以先在各符號旁寫出維數，再開始任何算術。接着畫出具有預期大小的矩陣括號，逐個位置填入結果。這樣便把結構檢查與數值計算分開：維數不合便立即停止；維數相合時，每個輸出位置都有唯一明確的算法。最後可特別覆核一個角落元素和一個含負數的元素，因為錯移一列或漏掉負號往往會在這些位置顯露。一個表達式包含多次加法與純量乘法時，這個步驟尤其重要；純量算得正確，亦無法補救配錯位置的元素。

固定大小下的代數法則

定理

矩陣加法規律

設 $A,B,C\in\mathbb F^{m\times n}$，則

$$A+B=B+A,$$$$(A+B)+C=A+(B+C),$$$$A+O=O+A=A,$$

以及

$$A+(-A)=(-A)+A=O.$$

因此，同一域上固定大小的矩陣在加法下封閉，並且具有交換性、結合性、唯一的零矩陣，以及每個矩陣唯一的加法逆元。

定理

純量乘法規律

設 $A,B\in\mathbb F^{m\times n}$，$r,s\in\mathbb F$，則

$$r(A+B)=rA+rB,\qquad (r+s)A=rA+sA,$$$$(rs)A=r(sA),\qquad 1A=A.$$

由此亦可推出

$$0A=O,\qquad rO=O,\qquad (-1)A=-A.$$

兩條分配律並不相同：第一條把一個純量分配到矩陣之和，第二條把純量之和分配到同一個矩陣。

逐項證明這些法則

上述規律都源自相應的純量規律，但矩陣證明必須明確落實到元素。首先留意每條等式兩邊都是 $m\times n$ 矩陣，再固定任意位置 $(i,j)$。

以加法結合律為例，

$$[(A+B)+C]_{ij} =(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij} =a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij}) =[A+(B+C)]_{ij}.$$

中間一步使用 $\mathbb F$ 中純量加法的結合律。因為每個位置都相等，矩陣相等的定義便給出 $(A+B)+C=A+(B+C)$。

對於純量對矩陣和的分配律，

$$[r(A+B)]_{ij} =r(a_{ij}+b_{ij}) =ra_{ij}+rb_{ij} =[rA+rB]_{ij}.$$

同理，

$$[(r+s)A]_{ij}=(r+s)a_{ij} =ra_{ij}+sa_{ij}=[rA+sA]_{ij},$$

並且

$$[(rs)A]_{ij}=(rs)a_{ij} =r(sa_{ij})=[r(sA)]_{ij}.$$

交換律、零元素規律、逆元規律及 $1A=A$，都可以在任意元素上套用相應的純量恆等式。這是一種可以反覆使用的證明方法：同型，再加上每個任意元素相等，便能推出矩陣相等。

推論與消去律

利用上述兩個定理，可以推導實用規律，不必把它們當成額外公式死記。由於 $A-B=A+(-B)$，分配律給出

$$r(A-B)=rA-rB.$$

其中 $r(-B)=(-r)B=-(rB)$，可以在任意元素上直接核對。不過，減法本身一般既不符合交換律，亦不符合結合律。通常 $A-B\ne B-A$，而 $(A-B)-C$ 亦未必等於 $A-(B-C)$。把每個減法改寫為加上逆元，便能清楚看出正確的括號和正負號。

矩陣加法還有消去律。若 $A,B,C$ 同屬 $\mathbb F^{m\times n}$ 且滿足 $A+B=A+C$，就在等式兩邊都加上 $-A$。結合律與零矩陣規律會把等式化為 $B=C$。對固定的 $A,D\in\mathbb F^{m\times n}$，以 $X\in\mathbb F^{m\times n}$ 為未知矩陣的方程 $A+X=D$ 因而有唯一解 $X=D-A$。所謂把一項「移到等式另一邊」，其實是對等式兩邊施行同一個容許的加法運算。

純量消去則需要額外條件。若 $rA=rB$ 且 $r\ne0$，兩邊乘以純量 $1/r$ 可得 $A=B$。若 $r=0$，無論 $A,B$ 是甚麼，等式兩邊都會成為 $O$，所以不能推出原矩陣相等。同理，只有在 $r$ 非零時，$rA=O$ 才能推出 $A=O$。明確寫出這個條件，可以避免常見的邏輯錯誤。

最後，在 $\mathbb R$ 上，矩陣方程其實是一組位於對應位置的純量方程。若 $X=[x_{ij}]$ 且 $2X+A=B$，每個元素都滿足 $2x_{ij}+a_{ij}=b_{ij}$。同時解這些純量方程便得到 $X=(1/2)(B-A)$。簡潔的矩陣移項與逐項求解並非兩種互相競爭的方法，而是同一段推理的兩種表述。

比較逐項運算

下面的圖解保持行欄位置不變，逐項比較加法、減法與純量乘法如何改變元素。再把零矩陣和加法逆元放在相同位置比較，然後嘗試計算。

逐步連繫同型條件、逐格加法、純量縮放、以加法逆元理解減法，以及零矩陣單位元。

1. 同型入口

   A + B 與 A - B 要求 A 和 B 都是同一個 m x n 大小，令每個元素都有對應配對。

2. 逐格加法

   輸出矩陣的 (i,j) 位置，來自兩個輸入矩陣同一位置的元素：[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}。

3. 純量乘法

   純量會乘上 A 的每一個元素。元素會改變，但結果仍然是 m x n 矩陣。

4. 用逆元理解減法

   減法定義為 A - B = A + (-B)，所以它使用與加法相同的大小規則。

5. 零矩陣與逆元

   零矩陣 O 與加法逆元 -A 必須與 A 同型，因此 A+O=A 與 A+(-A)=O 才有定義。

6. 逐項證明規律

   熟悉的代數規律，是透過比較矩陣等式兩邊的 (i,j)-元素來證明。

對加法與減法來說，大小相配是定義的一部分。對純量乘法來說，一個純量會作用到每個元素，但矩陣形狀保持不變。

嘗試計算線性組合

下面的互動區可以在 $A+B$、$A-B$ 與 $cA$ 之間切換。讀取輸出之前，先預測一個指定元素及結果大小。無論選擇哪一種運算，輸出都會保留輸入矩陣的大小。

計算時檢查大小與符號

例題

矩形矩陣的數值計算

設

$$A=\begin{bmatrix}1&-2&3\\0&4&-1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}5&1&-3\\2&-4&6\end{bmatrix}.$$

兩者都是 $\mathbb R$ 上的 $2\times 3$ 矩陣，因此和與差都有定義。保持位置對齊可得

$$A+B =\begin{bmatrix} 1+5&-2+1&3+(-3)\\ 0+2&4+(-4)&-1+6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6&-1&0\\2&0&5\end{bmatrix},$$

以及

$$A-B =\begin{bmatrix} 1-5&-2-1&3-(-3)\\ 0-2&4-(-4)&-1-6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-4&-3&6\\-2&8&-7\end{bmatrix}.$$

最後，

$$-2A=\begin{bmatrix}-2&4&-6\\0&-8&2\end{bmatrix}.$$

三個結果仍然都是 $2\times 3$；純量 $-2$ 改變正負號與數值大小，並不改變維數。

例題

逐項解矩陣方程

設以下矩陣的元素都是實數，並有

$$3X-2A=B,$$

其中

$$A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&0\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix}.$$

矩陣加法容許與純量代數相同的移項：

$$3X=B+2A,\qquad X=\frac13(B+2A).$$

這裏要實際計算，而不要把分數誤稱為「矩陣除法」：

$$B+2A =\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}2&-4\\6&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6&3\\3&6\end{bmatrix},$$

所以

$$X=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}.$$

代入檢驗是解題的一部分：

$$3X-2A =\begin{bmatrix}6&3\\3&6\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}2&-4\\6&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix}=B.$$

例題

用數值核驗分配律

取

$$P=\begin{bmatrix}1&-2\\0&3\end{bmatrix},\qquad Q=\begin{bmatrix}4&1\\-5&2\end{bmatrix}.$$

等式 $-2(P+Q)=-2P+(-2)Q$ 的左邊為

$$-2(P+Q) =-2\begin{bmatrix}5&-1\\-5&5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-10&2\\10&-10\end{bmatrix}.$$

右邊為

$$-2P+(-2)Q =\begin{bmatrix}-2&4\\0&-6\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-8&-2\\10&-4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-10&2\\10&-10\end{bmatrix}.$$

一個例子不能證明定理，但它既檢查了算術，亦展示了一般逐項證明在具體數值中的表現。

為甚麼零矩陣重要

若 $O$ 是與 $A$ 同型的零矩陣，則 $A+O=A$。這很重要，因為由 $m\times n$ 矩陣組成的向量空間需要一個加法單位元。這個單位元取決於矩陣大小：在矩陣相等或加法中，$2\times 2$ 零矩陣不能代替 $3\times 3$ 零矩陣。

方程 $A+X=O$ 亦恰好只有一個解 $X=-A$。要說明唯一性，可以在等式兩邊加上 $-A$，再使用結合律。因此，零矩陣與加法逆元是結構中的必要對象，而不只是方便的記號。

常見錯誤

常見錯誤

只看元素，不檢查維數

$A+B$ 與 $A-B$ 要求行數相同且列數相同。元素總數相同並不足夠；$2\times 3$ 矩陣不能與 $3\times 2$ 矩陣相加。

常見錯誤

只把純量乘到部分元素

在 $cA$ 中，純量要乘到每個元素，包括零與負數。例如 $-2(-3)=6$，漏掉這個正負號是常見的算術錯誤。

常見錯誤

把純量當作矩陣加數

按照本課程的定義，$A+5$ 沒有意義。除非另有明確規定，否則既不能把 $5$ 加到所有元素，也不能只加到對角元素。

常見錯誤

把純量乘法說成矩陣除法

由 $3X=C$ 得到 $X=(1/3)C$，用的是純量 $1/3$ 的乘法，並沒有假定矩陣之間可以相除。

需要掌握的運算法則

• 矩陣相等要求維數相同，而且每個對應元素都相等。
• 加減法要求矩陣同屬一個 $\mathbb F^{m\times n}$；純量乘法則保留這個空間及矩陣大小。
• 零矩陣與 $-A$ 分別提供加法單位元和加法逆元。
• 加法與純量乘法遵守熟悉的規律，是因為相應規律在純量域的每個任意 $(i,j)$ 元素上都成立。
• 可靠的計算次序是：先檢查維數，保持位置對齊，算完每個元素；若解矩陣方程，再把答案代入原式。

練習

思考檢查

為甚麼矩陣加法只對同型矩陣有定義？

請在答案中使用「對應位置」這個說法。

解答 · 答案

矩陣加法是逐格進行的，所以一個矩陣中的每個元素都必須在另一個矩陣中有對應位置；這就要求行數與列數分別相同。

思考檢查

若 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩陣，那麼 $-A$ 的大小是多少？

請只留意矩陣形狀，不要只看元素變號。

解答 · 答案

$-A$ 仍然是 $3\times 4$ 矩陣，因為乘以 $-1$ 只改變每個元素，不會改變行數或列數。

思考檢查

設 $A$ 是 $2 \times 3$，$B$ 是 $3 \times 2$。$A + B$、$A - B$、$2A$ 哪些有定義？

請逐一寫出，並說明所得矩陣大小。

解答 · 引導解答

$A+B$ 沒有定義，因為大小不同；$A-B$ 亦因同一理由沒有定義。$2A$ 有定義且大小為 $2\times 3$，因為純量乘法只需要一個矩陣和一個純量。

思考檢查

計算 $2A-B$，其中 $A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}3&2&-2\\-1&5&1\end{bmatrix}$。

先寫出 $2A$，再逐項相減。

解答 · 引導解答

兩者都是 $2\times 3$ 矩陣，所以表達式有定義。先算

$$2A=\begin{bmatrix}2&-2&4\\0&6&8\end{bmatrix},$$

再得

$$2A-B =\begin{bmatrix}2-3&-2-2&4-(-2)\\0-(-1)&6-5&8-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1&-4&6\\1&1&7\end{bmatrix}.$$

思考檢查

解 $X+2A=C$，其中 $A=\begin{bmatrix}2&-1\\0&3\end{bmatrix}$，$C=\begin{bmatrix}5&4\\-2&1\end{bmatrix}$。

先孤立 $X$，完成計算後再核對原方程的一個元素。

解答 · 引導解答

兩邊減去 $2A$：

$$X=C-2A =\begin{bmatrix}5&4\\-2&1\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}4&-2\\0&6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&6\\-2&-5\end{bmatrix}.$$

例如 $(1,2)$ 元素滿足 $6+2(-1)=4$，與 $C$ 的 $(1,2)$ 元素一致；核對其餘三個元素便可得到完整等式。

思考檢查

為甚麼零矩陣稱為加法單位元？

請寫出表達其作用的方程，並說明大小條件。

解答 · 引導解答

對每個 $A\in\mathbb F^{m\times n}$，同一空間中的零矩陣 $O\in\mathbb F^{m\times n}$ 都滿足 $A+O=O+A=A$。兩者必須同型，相關加法才有定義。

相關筆記

若仍想較慢地重溫行、列、元素與矩陣大小，可以先讀 2.1 矩陣基礎。

繼續閱讀 3.2 矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組，學習第一種不是逐格進行的矩陣運算。