3.3 轉置、對稱矩陣與反對稱矩陣

轉置是一個看似簡單，但影響很大的矩陣操作。它只是交換行和列，卻足以定義幾個重要的矩陣類型，也能帶出一些實用的運算規則。

這一節有兩個目標：

1. 弄清楚 $A^T$ 到底做了甚麼；
2. 學會怎樣從主對角線向外辨認對稱矩陣和反對稱矩陣。

先有直覺：沿主對角線反射

當你把矩陣轉置時，原本位於第 i 行第 j 列的元素，會移到第 j 行第 i 列。

最容易記的畫面，就是「沿主對角線反射」。對角線上的元素不會移動，對角線兩側的元素則會互相交換位置。

因此，一談到對稱性，你真正要比較的往往是像 $a_{12}$ 和 $a_{21}$ 這一類成對元素。

定義

要特別留意「方陣」這兩個字。若 $A$ 不是方陣，$A$ 和 $A^T$ 的大小根本不同，自然不可能滿足 $A^T = A$ 或 $A^T = -A$。

內嵌互動時刻

下面的互動區可以在幾個例子之間切換。請把 $A$ 與 $A^T$ 並排比較，然後留意主對角線兩側的元素到底是「相等」、「變號」，還是兩者都不是。

例子

為何反對稱矩陣的對角元素一定是 0

若 $A$ 是反對稱矩陣，則 $A^T = -A$。

現在只看一個對角元素 $a_{ii}$。轉置並不會移動它，所以這條規則迫使

$$a_{ii} = -a_{ii}.$$

於是

$$2a_{ii} = 0,$$

因此每個對角元素都必須是 0。

這是一個很快的檢查方法：只要某個候選反對稱矩陣在對角線上出現非零元素，它就不可能是反對稱矩陣。

這條規則很重要，因為轉置不只是逐個矩陣處理，還會把乘法次序反過來。這正是學生最常漏掉的部分。

常見錯誤

快速檢查

練習

相關筆記

若你仍未熟悉乘法次序為何會被反轉，可先回看 3.2 矩陣乘法與線性方程組。

下一步可讀 3.4 特殊矩陣，看看更多由位置和形狀定義出來的矩陣類型。