3.1 矩阵加法、减法与数乘

从这一节开始，矩阵不再只是装载信息的表格，而是具有代数运算的数学对象。加法、减法与数乘的计算并不复杂，但它们的定义建立了以后线性代数所需的结构。因此，学习目标不只是算出答案，还要先判断运算是否有定义，持续追踪矩阵大小，并说明熟悉的代数规律为什么仍然成立。

为什么要匹配对应位置

矩阵把数量放在指定的行列位置。例如，各行可以代表产品，各列可以代表月份。只有当两个表格的相同位置描述同一类数据时，把它们相加才有意义。代数上，这要求两个矩阵大小完全相同，而且所有元素都来自同一个标量域。

条件确定以后，三种运算都是逐格进行的：

• 加法结合对应位置的元素；
• 减法逐格量度一个矩阵相对于另一个矩阵的变化；
• 数乘用同一个比例因子缩放每个元素。

概念视角结构

一次观察一个位置

逐项运算在位置 $(i,j)$ 的输出，只使用输入矩阵在同一位置的元素。这同时解释了为什么要求大小相同，以及为什么输出保持原来的大小：每个输出位置都在各输入中有对应位置。因此，证明可以先固定一个任意位置，再在那里使用通常的标量代数。

矩阵乘法使用不同规则：一个输出元素由一个矩阵的整行与另一个矩阵的整列共同构成。两个 $2\times3$ 矩阵可以相加，它们的矩阵乘积却没有定义。检查大小时必须跟随具体运算；两个矩阵适合相加，并不自动说明它们适合相乘。

定义逐项运算

定义

矩阵相等

设 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$。等式 $A=B$ 同时表示两件事：$A$ 与 $B$ 大小相同，并且对于每个允许的行指标 $i$ 与列指标 $j$，都有

$$a_{ij}=b_{ij}.$$

只核对少数几个元素并不足够；矩阵相等是覆盖整个矩阵的逐项陈述。

固定正整数 $m,n$ 与一个标量域 $\mathbb F$，本课程通常取 $\mathbb R$。记号 $\mathbb F^{m\times n}$ 表示所有元素都属于 $\mathbb F$ 的 $m\times n$ 矩阵所组成的集合。要求矩阵与标量处于同一个域，可以避免未经说明便混用不同数系。若要把实矩阵放入更大的数系，必须先明确选择共同底域。

定义

矩阵加法、减法与数乘

设 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$ 都属于 $\mathbb F^{m\times n}$，并设 $c\in\mathbb F$。

• 和 $A+B$ 是由 $[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ 定义的 $m\times n$ 矩阵。
• 数乘 $cA$ 是由 $[cA]_{ij}=ca_{ij}$ 定义的 $m\times n$ 矩阵。
• $A$ 的加法逆元是 $-A=(-1)A$，而减法定义为 $A-B=A+(-B)$。

若两个矩阵大小不同，加法与减法没有定义；数乘则始终保留原矩阵的大小。

定义

零矩阵

$\mathbb F^{m\times n}$ 中的零矩阵记作 $O$，它是每个元素都等于零的 $m\times n$ 矩阵。大小是零矩阵身份的一部分：$2\times 3$ 零矩阵与 $3\times 2$ 零矩阵不是同一个对象。

若 $A=[a_{ij}]$、$B=[b_{ij}]$，逐格规则可以简写为

$$[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij},\qquad [A-B]_{ij}=a_{ij}-b_{ij},\qquad [cA]_{ij}=ca_{ij}.$$

这三条公式也提供了一种可靠的相等性证明方法：先确认两个矩阵表达式大小相同，再比较任意 $(i,j)$ 位置的元素。

线性组合与封闭性

这三种运算经常一起出现。若 $A,B$ 属于 $\mathbb F^{m\times n}$，$r,s$ 属于 $\mathbb F$，则

$$rA+sB$$

称为 $A$ 与 $B$ 的一个线性组合。它的 $(i,j)$ 元素是 $ra_{ij}+sb_{ij}$，大小仍为 $m\times n$。所得结果仍属于 $\mathbb F^{m\times n}$，这种性质称为封闭性。封闭性不只是一个术语，它保证我们用允许的对象计算以后，不会突然离开正在研究的集合。

很多常见表达式都是线性组合的特例。差 $A-B$ 使用系数 $1$ 与 $-1$；在 $\mathbb R$ 上，平均值 $(1/2)A+(1/2)B$ 使用两个和为一的系数；零矩阵则可以写成 $0A$。系数可以为正、为负或为零。因此，“缩放”不一定把元素的绝对值放大：负系数还会改变正负号，零系数则把所有元素变成零。

整个表达式仍受同型条件约束。若 $A$ 是 $2\times 3$ 矩阵而 $B$ 是 $3\times 2$ 矩阵，那么即使 $rA$ 与 $sB$ 各自有定义，$rA+sB$ 仍然没有定义。数乘不能修补维数不匹配的问题。此外，标量与矩阵元素都必须在选定的共同底域中理解，使每一次标量乘法与加法都有一致的意义。

手算时可以先在各符号旁写出维数，再开始任何算术。接着画出具有预期大小的矩阵括号，逐个位置填入结果。这样便把结构检查与数值计算分开：维数不合就立即停止；维数相合时，每个输出位置都有唯一明确的算法。最后可特别复核一个角落元素和一个含负数的元素，因为错移一列或漏掉负号往往会在这些位置暴露。一个表达式包含多次加法与数乘时，这个步骤尤其重要；标量算得正确，也无法补救配错位置的元素。

固定大小下的代数法则

定理

矩阵加法规律

设 $A,B,C\in\mathbb F^{m\times n}$，则

$$A+B=B+A,$$$$(A+B)+C=A+(B+C),$$$$A+O=O+A=A,$$

以及

$$A+(-A)=(-A)+A=O.$$

因此，同一域上固定大小的矩阵在加法下封闭，并且具有交换性、结合性、唯一的零矩阵，以及每个矩阵唯一的加法逆元。

定理

数乘规律

设 $A,B\in\mathbb F^{m\times n}$，$r,s\in\mathbb F$，则

$$r(A+B)=rA+rB,\qquad (r+s)A=rA+sA,$$$$(rs)A=r(sA),\qquad 1A=A.$$

由此还可推出

$$0A=O,\qquad rO=O,\qquad (-1)A=-A.$$

两条分配律并不相同：第一条把一个标量分配到矩阵之和，第二条把标量之和分配到同一个矩阵。

逐项证明这些法则

上述规律都源自对应的标量规律，但矩阵证明必须明确落实到元素。先注意每条等式两边都是 $m\times n$ 矩阵，再固定任意位置 $(i,j)$。

以加法结合律为例，

$$[(A+B)+C]_{ij} =(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij} =a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij}) =[A+(B+C)]_{ij}.$$

中间一步使用 $\mathbb F$ 中标量加法的结合律。因为每个位置都相等，矩阵相等的定义便给出 $(A+B)+C=A+(B+C)$。

对于标量对矩阵和的分配律，

$$[r(A+B)]_{ij} =r(a_{ij}+b_{ij}) =ra_{ij}+rb_{ij} =[rA+rB]_{ij}.$$

同理，

$$[(r+s)A]_{ij}=(r+s)a_{ij} =ra_{ij}+sa_{ij}=[rA+sA]_{ij},$$

并且

$$[(rs)A]_{ij}=(rs)a_{ij} =r(sa_{ij})=[r(sA)]_{ij}.$$

交换律、零元素规律、逆元规律和 $1A=A$，都可在任意元素上套用对应的标量恒等式。这是一种可以反复使用的证明方法：同型，再加上每个任意元素相等，就能推出矩阵相等。

推论与消去律

利用上述两个定理，可以推导实用规律，不必把它们当成额外公式死记。由于 $A-B=A+(-B)$，分配律给出

$$r(A-B)=rA-rB.$$

其中 $r(-B)=(-r)B=-(rB)$，可以在任意元素上直接核对。不过，减法本身一般既不满足交换律，也不满足结合律。通常 $A-B\ne B-A$，而 $(A-B)-C$ 也未必等于 $A-(B-C)$。把每个减法改写为加上逆元，就能清楚看出正确的括号和正负号。

矩阵加法还满足消去律。若 $A,B,C$ 同属 $\mathbb F^{m\times n}$ 且满足 $A+B=A+C$，就在等式两边都加上 $-A$。结合律与零矩阵规律会把等式化为 $B=C$。对于固定的 $A,D\in\mathbb F^{m\times n}$，以 $X\in\mathbb F^{m\times n}$ 为未知矩阵的方程 $A+X=D$ 因而有唯一解 $X=D-A$。所谓把一项“移到等式另一边”，其实是对等式两边施行同一个允许的加法运算。

标量消去则需要额外条件。若 $rA=rB$ 且 $r\ne0$，两边数乘 $1/r$ 可得 $A=B$。若 $r=0$，无论 $A,B$ 是什么，等式两边都会成为 $O$，所以不能推出原矩阵相等。同理，只有在 $r$ 非零时，$rA=O$ 才能推出 $A=O$。明确写出这个条件，可以避免常见的逻辑错误。

最后，在 $\mathbb R$ 上，矩阵方程实质上是一组位于对应位置的标量方程。若 $X=[x_{ij}]$ 且 $2X+A=B$，每个元素都满足 $2x_{ij}+a_{ij}=b_{ij}$。同时解这些标量方程便得到 $X=(1/2)(B-A)$。简洁的矩阵移项与逐项求解并不是两种互相竞争的方法，而是同一段推理的两种表述。

比较逐项运算

下面的图解保持行列位置不变，逐项比较加法、减法与数乘如何改变元素。再把零矩阵和加法逆元放在相同位置比较，然后尝试计算。

逐步联系同型条件、逐格加法、数乘缩放、以加法逆元理解减法，以及零矩阵单位元。

1. 同型入口

   A + B 与 A - B 要求 A 和 B 都是同一个 m x n 大小，让每个元素都有对应配对。

2. 逐格加法

   输出矩阵的 (i,j) 位置，来自两个输入矩阵同一位置的元素：[A+B]_{ij}=a_{ij}+b_{ij}。

3. 数乘

   标量会乘上 A 的每一个元素。元素会改变，但结果仍然是 m x n 矩阵。

4. 用逆元理解减法

   减法定义为 A - B = A + (-B)，所以它使用与加法相同的大小规则。

5. 零矩阵与逆元

   零矩阵 O 与加法逆元 -A 必须与 A 同型，因此 A+O=A 与 A+(-A)=O 才有定义。

6. 逐项证明规律

   熟悉的代数规律，是通过比较矩阵等式两边的 (i,j)-元素来证明。

对加法与减法来说，大小相配是定义的一部分。对数乘来说，一个标量会作用到每个元素，但矩阵形状保持不变。

尝试计算线性组合

下面的互动区可以在 $A+B$、$A-B$ 与 $cA$ 之间切换。读取输出之前，先预测一个指定元素及结果大小。无论选择哪一种运算，输出都会保留输入矩阵的大小。

计算时检查大小与符号

例题

矩形矩阵的数值计算

设

$$A=\begin{bmatrix}1&-2&3\\0&4&-1\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}5&1&-3\\2&-4&6\end{bmatrix}.$$

两者都是 $\mathbb R$ 上的 $2\times 3$ 矩阵，因此和与差都有定义。保持位置对齐可得

$$A+B =\begin{bmatrix} 1+5&-2+1&3+(-3)\\ 0+2&4+(-4)&-1+6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6&-1&0\\2&0&5\end{bmatrix},$$

以及

$$A-B =\begin{bmatrix} 1-5&-2-1&3-(-3)\\ 0-2&4-(-4)&-1-6 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-4&-3&6\\-2&8&-7\end{bmatrix}.$$

最后，

$$-2A=\begin{bmatrix}-2&4&-6\\0&-8&2\end{bmatrix}.$$

三个结果仍然都是 $2\times 3$；标量 $-2$ 改变正负号与大小，不改变维数。

例题

逐项解矩阵方程

设以下矩阵的元素都是实数，并有

$$3X-2A=B,$$

其中

$$A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&0\end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix}.$$

矩阵加法允许与标量代数相同的移项：

$$3X=B+2A,\qquad X=\frac13(B+2A).$$

这里要实际计算，而不要把分数误称为“矩阵除法”：

$$B+2A =\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}2&-4\\6&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}6&3\\3&6\end{bmatrix},$$

所以

$$X=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}.$$

代回检验是解题的一部分：

$$3X-2A =\begin{bmatrix}6&3\\3&6\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}2&-4\\6&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}4&7\\-3&6\end{bmatrix}=B.$$

例题

用数值核验分配律

取

$$P=\begin{bmatrix}1&-2\\0&3\end{bmatrix},\qquad Q=\begin{bmatrix}4&1\\-5&2\end{bmatrix}.$$

等式 $-2(P+Q)=-2P+(-2)Q$ 的左边为

$$-2(P+Q) =-2\begin{bmatrix}5&-1\\-5&5\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-10&2\\10&-10\end{bmatrix}.$$

右边为

$$-2P+(-2)Q =\begin{bmatrix}-2&4\\0&-6\end{bmatrix} +\begin{bmatrix}-8&-2\\10&-4\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-10&2\\10&-10\end{bmatrix}.$$

一个例子不能证明定理，但它既检查了算术，也展示了一般逐项证明在具体数值中的表现。

为什么零矩阵重要

若 $O$ 是与 $A$ 同型的零矩阵，则 $A+O=A$。这很重要，因为由 $m\times n$ 矩阵组成的向量空间需要一个加法单位元。这个单位元依赖矩阵的大小：在矩阵相等或加法中，$2\times 2$ 零矩阵不能代替 $3\times 3$ 零矩阵。

方程 $A+X=O$ 也恰好只有一个解 $X=-A$。要说明唯一性，可以在等式两边加上 $-A$，再使用结合律。因此，零矩阵和加法逆元是结构中的必要对象，不只是方便的记号。

常见错误

常见错误

只看元素，不检查维数

$A+B$ 与 $A-B$ 要求行数相同且列数相同。元素总数相同并不足够；$2\times 3$ 矩阵不能与 $3\times 2$ 矩阵相加。

常见错误

只把标量乘到部分元素

在 $cA$ 中，标量要乘到每个元素，包括零与负数。例如 $-2(-3)=6$，漏掉这个正负号是常见的算术错误。

常见错误

把标量当作矩阵加数

在本课程的定义下，$A+5$ 没有意义。除非另行明确规定，否则既不能把 $5$ 加到所有元素，也不能只加到对角元素。

常见错误

把数乘说成矩阵除法

从 $3X=C$ 得到 $X=(1/3)C$，用的是标量 $1/3$ 的数乘，并没有假定矩阵之间可以相除。

需要掌握的运算法则

• 矩阵相等要求维数相同，而且每个对应元素都相等。
• 加减法要求矩阵同属一个 $\mathbb F^{m\times n}$；数乘则保留这个空间与矩阵大小。
• 零矩阵与 $-A$ 分别提供加法单位元和加法逆元。
• 加法和数乘遵守熟悉的规律，是因为相应规律在标量域的每个任意 $(i,j)$ 元素上都成立。
• 可靠的计算顺序是：先检查维数，保持位置对齐，算完每个元素；若解矩阵方程，再把答案代回原式。

练习

思考检查

为什么矩阵加法只对同型矩阵有定义？

请在答案中使用“对应位置”这个说法。

解答 · 答案

矩阵加法是逐格进行的，所以一个矩阵中的每个元素都必须在另一个矩阵中有对应位置；这就要求行数与列数分别相同。

思考检查

如果 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，那么 $-A$ 的大小是多少？

请只关注矩阵形状，不要只看元素变号。

解答 · 答案

$-A$ 仍然是 $3\times 4$ 矩阵，因为乘以 $-1$ 只改变每个元素，不改变行数或列数。

思考检查

设 $A$ 是 $2 \times 3$，$B$ 是 $3 \times 2$。$A + B$、$A - B$、$2A$ 哪些有定义？

请逐个写出，并说明所得矩阵大小。

解答 · 引导解答

$A+B$ 没有定义，因为大小不同；$A-B$ 也因同一理由没有定义。$2A$ 有定义且大小为 $2\times 3$，因为数乘只需要一个矩阵和一个标量。

思考检查

计算 $2A-B$，其中 $A=\begin{bmatrix}1&-1&2\\0&3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}3&2&-2\\-1&5&1\end{bmatrix}$。

先写出 $2A$，再逐项相减。

解答 · 引导解答

两者都是 $2\times 3$ 矩阵，所以表达式有定义。先算

$$2A=\begin{bmatrix}2&-2&4\\0&6&8\end{bmatrix},$$

再得

$$2A-B =\begin{bmatrix}2-3&-2-2&4-(-2)\\0-(-1)&6-5&8-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-1&-4&6\\1&1&7\end{bmatrix}.$$

思考检查

解 $X+2A=C$，其中 $A=\begin{bmatrix}2&-1\\0&3\end{bmatrix}$，$C=\begin{bmatrix}5&4\\-2&1\end{bmatrix}$。

先孤立 $X$，完成计算后再核对原方程的一个元素。

解答 · 引导解答

两边减去 $2A$：

$$X=C-2A =\begin{bmatrix}5&4\\-2&1\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}4&-2\\0&6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&6\\-2&-5\end{bmatrix}.$$

例如 $(1,2)$ 元素满足 $6+2(-1)=4$，与 $C$ 的 $(1,2)$ 元素一致；核对其余三个元素即可得到完整等式。

思考检查

为什么零矩阵叫做加法单位元？

请写出表达其作用的方程，并说明大小条件。

解答 · 引导解答

对于每个 $A\in\mathbb F^{m\times n}$，同一空间中的零矩阵 $O\in\mathbb F^{m\times n}$ 都满足 $A+O=O+A=A$。两者必须同型，相关加法才有定义。

相关笔记

如果还想更慢地复习行、列、元素与矩阵大小，可以先读 2.1 矩阵基础。

继续阅读 3.2 矩阵乘法、单位矩阵与线性方程组，学习第一种不是逐格进行的矩阵运算。