3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵

转置是一个定义很简单、后果却很大的操作。它只是把行和列互换，但这一步 已经足够定义几类重要矩阵，也足够推出几条常用的代数规则。

这一则笔记有两个目标：

1. 真正看懂 $A^T$ 在做什么；
2. 学会从主对角线向外读出对称与反对称结构。

先讲直觉：沿主对角线做反射

当你把一个矩阵转置时，第 i 行第 j 列的元素会移动到第 j 行第 i 列。

最好用的图像，是把矩阵看成沿主对角线反射。主对角线上的元素留在原位； 不在对角线上的元素，则与另一侧的“伙伴”交换位置。

所以，对称性问题本质上总是在比较诸如 $a_{12}$ 与 $a_{21}$ 这样的成对 位置。

定义

注意这里一定要是方阵。若 $A$ 不是方阵，那么 $A$ 与 $A^T$ 大小都 不同，等式 $A^T = A$ 与 $A^T = -A$ 根本无从谈起。

内嵌互动时刻

下面的互动比较会让你切换几个例子。请一边比较 $A$ 与 $A^T$，一边观察 主对角线两侧的元素如何对应。

例子

为什么反对称矩阵的对角元素一定是 0

若 $A$ 是反对称矩阵，则 $A^T = -A$。

现在盯住一个对角元素 $a_{ii}$。由于对角元素转置后不会移动，所以这条 规则会迫使它满足

$$a_{ii} = -a_{ii}.$$

于是

$$2a_{ii} = 0,$$

所以每个对角元素都必须是 0。

这也是判断一个矩阵是否可能反对称的最快方法之一：只要对角线上有一个 非零元素，它就不可能是反对称矩阵。

这条规则很重要，因为转置不只是分别作用在两个矩阵上，它还会把乘法顺 序一起倒转。很多同学正是在这里第一次犯错。

常见错误

快速检查

练习

相关笔记

若 $(AB)^T$ 的顺序倒转仍然觉得突然，可先回看 3.2 矩阵乘法与线性方程组。

接着可读 3.4 特殊矩阵，看看更多由形状与位置定义出来的矩阵家族。