不是每个矩阵都需要特别命名。这一节出现的几类矩阵之所以有名字，是因 为它们的形状本身已经带有很多信息。
当你能够迅速认出一个特殊矩阵时，你往往会更早知道：
- 它乘起来可能会变成什么样；
- 某些零元素是否必然保留；
- 某条证明为什么可以写得更短。
先讲直觉：形状本身就是信息
特殊矩阵并不一定少见；它们重要，是因为它们的图案让你在真正计算之前， 已经能看见部分结构。
- 对角矩阵告诉你：非对角元素全都不参与。
- 三角矩阵告诉你：某一侧本来就已经全是
0。 - 单位矩阵告诉你：乘法中什么都不改变。
- 初等矩阵告诉你：一次行变换其实可以包装成矩阵乘法。
换句话说，特殊矩阵让你在运算前就先看见形状背后的意思。
定义
定义
对角、三角、单位与初等矩阵
若一个方阵的所有非对角元素都等于 0，它就是对角矩阵。
若一个方阵在主对角线下方全是 0，它是上三角矩阵；若主对角线上
方全是 0，它是下三角矩阵。
是在主对角线上全是 1 的对角矩阵，称为单位矩阵。
若一个矩阵是由单位矩阵做一次初等行变换得到的，便称为初等矩阵。
内嵌互动时刻：由形状做分类
在看初等矩阵之前，先用下面的互动区比较几个常见家族。请留意：同一个 矩阵可以同时属于不止一种家族。
边读边试
matrix-family-checker
矩阵 A
| 2 | -1 |
| -1 | 5 |
转置 A^T
| 2 | -1 |
| -1 | 5 |
矩阵类型
对称
转置后与原矩阵逐格完全相同，所以 A^T = A。
例子
例题
先认类型，再决定怎样计算
考虑
是对角矩阵，因此它同时也是三角矩阵。
是上三角矩阵，因为主对角线下方的元素全部都是 0；但它不是对角
矩阵，因为主对角线上方仍有非零元素。
而
既是单位矩阵，也是对角矩阵，同时还是对称矩阵。
为什么单位矩阵叫做“单位”
单位矩阵在矩阵乘法中的作用，就像数字 1 在普通乘法中的作用一样。
若 是 矩阵，则
这正是为什么单位矩阵会不停出现在求逆问题中。当你问一个方阵 能否 被“还原”时，其实就是在问：有没有另一个矩阵和它相乘后得到 。
内嵌互动时刻：初等矩阵与行变换
初等矩阵的重要性，在于它把行变换翻译成矩阵乘法。
请一边看下面的消元步骤，一边把每一步理解成：“左乘另一个初等矩阵”。
边读边试
跟着走完一条行化简路径
互动步骤器会带你走完一条完整的消元路径，逐步显示行变换、正在处理的主元，以及每一步得到的矩阵。
| 1 | 2 | 2 | 4 |
| 1 | 3 | 3 | 5 |
| 2 | 6 | 5 | 6 |
行变换
先在第 1 列选主元。
要留意什么
第 1 列的第一行已经有方便的主元 1，所以暂时不用换行。
先由增广矩阵开始。第一个主元的工作，是帮我们把它下面的元素清掉。
初等矩阵其实是行变换的包装
若 是从 经过一次交换行、缩放行，或以某行倍数加到另一行后得
到的矩阵，那么左乘 EA，就等于把同一个行变换作用到 。
这是一条很重要的桥：
- 行变换不只是表格上的机械动作；
- 它可以被写成真正的矩阵乘法。
这条桥在后面的可逆性、行等价和逆矩阵讨论之中都非常重要。
定理
左乘初等矩阵，就会做出对应的行变换
若 是初等矩阵，而 的大小相容，则 EA 就是把那一次相应的行变
换作用在 上得到的矩阵。
常见错误
常见错误
把对角矩阵和三角矩阵混为一谈
每个对角矩阵都会是三角矩阵，但三角矩阵未必是对角矩阵。
常见错误
忘记哪一侧必须是 0
上三角矩阵要求主对角线下方全是 0；下三角矩阵则要求主对角线上
方全是 0。
常见错误
把初等矩阵当成任意矩阵
初等矩阵的定义非常具体：它必须由单位矩阵做一次初等行变换得到。
快速检查
快速检查
为什么每个对角矩阵都同时是上三角矩阵和下三角矩阵？
请用“非对角元素”来回答。
解答
答案
快速检查
单位矩阵在乘法中有什么作用？
请用一句话回答。
解答
答案
练习
快速检查
为什么左乘初等矩阵会改变行，而不是列？
请直接使用“行变换”这个词语。
解答
引导解答
快速检查
请说明：为什么单位矩阵会同时属于多个矩阵家族？
至少指出两个家族。
解答
引导解答
相关笔记
若你觉得行变换的语言有点生疏，可先回看 2.2 增广矩阵与行变换。
接着可读 3.5 分块矩阵，看看怎样把大矩阵拆成较小部分去处理。