3.4 特殊矩阵

不是每个矩阵都需要一个特殊名称。本节中的矩阵家族之所以值得命名，是因为 它们可见的元素排列会对运算施加限制。把这些限制写成指标语言之后，我们往往 无须逐项展开，就能预判乘积、转置和行变换的结果。

本节的矩阵元素来自一个域 $\mathbb F$；在本课程多数例子中，可以把它 理解为 $\mathbb R$。除非另行说明，对角矩阵和三角矩阵都是方阵。

零元素的分布能告诉我们什么

一般的 $n\times n$ 矩阵有 $n^2$ 个元素，单凭形状不能确定其中任何一个。 特殊矩阵则在计算开始之前已经提供额外信息。例如，若已知 $A$ 是下三角 矩阵，那么所有满足 $i\lt j$ 的元素 $a_{ij}$ 都必然等于零。这个简短条件会 控制许多后续运算。

因此，命名矩阵家族不是为了分类本身，而是为了用一个名称压缩一组有用的 假设：

• 对角矩阵表示只有主对角线上的元素可能非零；
• 上三角矩阵或下三角矩阵表示主对角线的一侧已经全部为零；
• 单位矩阵表示在相容的矩阵乘法中不改变另一个矩阵；
• 初等矩阵表示一次初等行变换已经被编码成矩阵乘法。

这些类别不是彼此分离的。对角矩阵同时是上三角矩阵和下三角矩阵；单位矩阵 是对角矩阵，因而也同时属于两个三角矩阵家族。同一个矩阵可以拥有多个有效 的结构标签。

这种语言在证明中尤其有用。若要证明两个下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵， 不必计算全部 $n^2$ 个元素。只需选取对角线上方任意一个元素，再把它的行乘 列和式分成两个指标范围，便能证明每一项都为零。这展示了结构信息如何代替 穷举计算。

识别矩阵类别

定义

对角、三角、单位与初等矩阵

设 $A=(a_{ij})\in\mathbb F^{n\times n}$。

若 $i\ne j$ 时总有 $a_{ij}=0$，则称 $A$ 为对角矩阵，并记作

$$A=\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}).$$

若 $i\gt j$ 时总有 $a_{ij}=0$，也就是主对角线下方全为零，则称 $A$ 为 上三角矩阵。若 $i\lt j$ 时总有 $a_{ij}=0$，也就是主对角线上方全为零， 则称 $A$ 为下三角矩阵。因此，一个矩阵是对角矩阵，当且仅当它同时是 上三角矩阵和下三角矩阵。

单位矩阵 $I_n$ 是对角矩阵 $\operatorname{diag}(1,\ldots,1)$。

若一个 $n$ 阶矩阵由 $I_n$ 经过恰好一次初等行变换得到，则称它为 初等矩阵。三类初等行变换是：交换两行；用一个非零标量乘某一行； 把某一行的标量倍数加到另一行。

“上方”和“下方”说的是元素位置，而不是元素的正负号：位置 $(i,j)$ 在 $i\lt j$ 时位于主对角线上方，在 $i=j$ 时位于主对角线上，在 $i\gt j$ 时位于 主对角线下方。三角矩阵的对角元素不受定义限制，因此可以等于零。

下面的图解按零元素的位置与运算作用整理这些名称：哪些位置必须为零、为什么单位矩阵 不改变相乘的矩阵，以及一次行变换怎样成为初等矩阵。可以先建立这幅固定 图景，再使用互动分类器。

从可见形状辨认特殊矩阵家族，再连到对角与三角乘积保持形状、单位律，以及把行变换包装成矩阵的初等矩阵。

1. 家族地图

   对角、三角、单位、零矩阵和初等矩阵之所以有用，是因为它们的形状本身带有代数信息。

2. 对角图案

   对角矩阵的所有非对角元素都等于零，而且两个对角矩阵相乘后仍是对角矩阵。

3. 三角图案

   上三角矩阵在主对角线下方全为零，而上三角矩阵相乘会保留这一侧的零元素。

4. 单位作用

   单位矩阵是在对角线上全为一的对角矩阵；相容乘法满足 AI_n = A 与 I_mA = A。

5. 初等桥梁

   初等矩阵是由单位矩阵做一次初等行变换得到的矩阵。

6. 乘法侧边很重要

   在左边乘上 E 会对 A 做相应行变换；在右边乘上 E 则会做相应列变换。

特殊矩阵家族不只是名称。对角、三角、单位、零矩阵和初等矩阵都把可见结构包装起来，所以应先辨认形状，再决定需要多少计算。

下面的互动区集中辨认对角、单位、对称与反对称矩阵。它的分类标签并没有 穷尽所有矩阵家族：在这组较窄的比较中被标为“都不是”的矩阵，仍可能是 上三角或下三角矩阵。应用本节定义时，应检查元素位置，而不能只依赖一个标签。

哪些结构在运算后仍然保留

定理

转置会交换两个三角矩阵家族

设 $A\in\mathbb F^{n\times n}$。$A$ 是上三角矩阵，当且仅当 $A^T$ 是下三角矩阵；同样，$A$ 是下三角矩阵，当且仅当 $A^T$ 是上三角矩阵。 因此，对角矩阵转置之后仍是对角矩阵。

定理

三角矩阵对乘法封闭

设 $A,B\in\mathbb F^{n\times n}$。若两者都是下三角矩阵，则 $AB$ 也是下三角矩阵；若两者都是上三角矩阵，则 $AB$ 也是上三角矩阵。

作为特例，两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵。

定理

左乘初等矩阵会执行相应的行变换

设 $E\in\mathbb F^{n\times n}$ 是对 $I_n$ 做一次初等行变换 $\mathcal R$ 所得的矩阵。对任意 $A\in\mathbb F^{n\times p}$， 乘积 $EA$ 都有定义，而且它正是把 $\mathcal R$ 作用于 $A$ 的各行后 得到的矩阵。

维数条件是定理的一部分。乘法封闭性要求两个方阵同阶；初等矩阵定理只要求 $A$ 的行数等于 $E$ 的阶数，$A$ 的列数 $p$ 可以任意。

用必为零的元素完成证明

先证明转置结论。设 $A$ 是上三角矩阵。为了证明 $A^T$ 是下三角矩阵， 任取它在主对角线上方的位置，即 $i\lt j$。根据转置定义，

$$(A^T)_{ij}=a_{ji}.$$

因为 $j\gt i$，元素 $a_{ji}$ 位于上三角矩阵 $A$ 的主对角线下方，所以 $a_{ji}=0$。因此 $A^T$ 主对角线上方的每一个元素都为零。对 $A^T$ 重复同一论证并使用 $(A^T)^T=A$，便得到逆向结论。交换“上”和“下”即可 得到另一组等价关系。

乘法封闭性的证明需要明确处理求和指标。设 $A$ 与 $B$ 都是 $n\times n$ 下三角矩阵。任取主对角线上方的位置 $(i,j)$，所以 $i\lt j$。乘积在该位置的元素为

$$(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$$

把 $k$ 的所有可能值分成两个互不遗漏的情形：$k\le i$ 与 $k\gt i$。

• 若 $k\le i$，则 $k\le i\lt j$，从而 $k\lt j$。元素 $b_{kj}$ 位于下 三角矩阵 $B$ 的主对角线上方，所以 $b_{kj}=0$。
• 若 $k\gt i$，则元素 $a_{ik}$ 位于下三角矩阵 $A$ 的主对角线上方，所以 $a_{ik}=0$。

无论 $k$ 属于哪一种情形，乘积项 $a_{ik}b_{kj}$ 都等于零。因此 $(AB)_{ij}=0$ 对每个 $i\lt j$ 都成立，故 $AB$ 是下三角矩阵。这个论证 适用于任意 $n$，并非只验证 $3\times3$ 的图案。上三角情形可以直接 仿照证明，也可以利用 $(AB)^T=B^TA^T$ 和转置定理推出。

对角矩阵同时是上三角和下三角矩阵，所以两个对角矩阵的乘积也同时属于这 两个家族，因而仍是对角矩阵。更具体地，

$$\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n) \operatorname{diag}(e_1,\ldots,e_n) = \operatorname{diag}(d_1e_1,\ldots,d_ne_n).$$

这个公式还说明同阶对角矩阵彼此可交换，但不能据此断言一般的上三角矩阵或 下三角矩阵也可交换。

同一套指标结构还给出三角乘积的对角元素。若 $A$ 与 $B$ 都是下三角矩阵， 则

$$(AB)_{ii}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{ki}=a_{ii}b_{ii}.$$

当 $k\lt i$ 时，$b_{ki}$ 位于 $B$ 的主对角线上方，因而为零；当 $k\gt i$ 时，$a_{ik}$ 位于 $A$ 的主对角线上方，也为零。只有 $k=i$ 可能产生非零 贡献。上三角矩阵的乘积同样满足这个对角元素公式；它会在后面把三角形状与 行列式和可逆性联系起来。

最后说明初等矩阵定理。$I_n$ 的各行是标准行向量，对这些行执行 $\mathcal R$ 后得到 $E$ 的各行。计算 $EA$ 时，同一组系数会把 $A$ 的各行组合成 $EA$ 的各行。分别检查三类初等行变换，就会得到交换行、 非零倍数缩放行和行替换。因此，左乘所执行的正是定义 $E$ 时的那一次行变换。

先读结构，再计算

例题

找出每一个适用的矩阵家族

考虑

$$D = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}, \qquad U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.$$

$D$ 的六个非对角元素都为零，所以它是对角矩阵，也同时是上三角矩阵 和下三角矩阵。此外，$D^T=D$，所以它还是对称矩阵。

$U$ 在 $i\gt j$ 的位置全部为零，因此是上三角矩阵。但 $u_{12}=2$ 等 主对角线上方的元素不为零，所以它不是对角矩阵，也不是下三角矩阵。

单位矩阵

$$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

是一个重要的对角矩阵，因而也是上三角矩阵、下三角矩阵和对称矩阵。只要 正确读出零元素的图案，就不需要为这些分类分别计算。

例题

转置三角矩阵并追踪指标

设

$$U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}.$$

则

$$U^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}.$$

例如，零元素 $u_{31}=0$ 变成 $(U^T)_{13}=0$。一般地，$U$ 中每个 $i\gt j$ 的主对角线下方位置都会变成 $U^T$ 中的上方位置 $(j,i)$。 这个具体计算是在说明指标证明，而不是代替一般证明。

再做一个数值封闭性检查。令

$$L_1=\begin{bmatrix}1&0\\2&3\end{bmatrix}, \qquad L_2=\begin{bmatrix}-1&0\\4&5\end{bmatrix}.$$

则

$$L_1L_2= \begin{bmatrix} -1&0\\ 10&15 \end{bmatrix},$$

结果确实是下三角矩阵。这个例子只能提供验证；适用于任意 $n$ 的结论仍须 依靠前面的指标证明。

例题

对角矩阵与初等矩阵：行列的区别

设

$$A= \begin{bmatrix} 1&-2&0\\ 3&4&5 \end{bmatrix}, \quad D_2=\operatorname{diag}(2,-1), \quad D_3=\operatorname{diag}(4,1,-2).$$

维数决定了对角矩阵能放在哪一侧：$D_2A$ 是 $2\times2$ 与 $2\times3$ 相乘，$AD_3$ 是 $2\times3$ 与 $3\times3$ 相乘。 直接计算得

$$D_2A= \begin{bmatrix} 2&-4&0\\ -3&-4&-5 \end{bmatrix}, \qquad AD_3= \begin{bmatrix} 4&-2&0\\ 12&4&-10 \end{bmatrix}.$$

左乘对角矩阵会缩放各行：$D_2$ 的两个对角元素分别乘第 1、2 行。右乘 对角矩阵会缩放各列：$D_3$ 的三个对角元素分别乘第 1、2、3 列。

再考虑初等矩阵

$$E= \begin{bmatrix} 1&0\\ -3&1 \end{bmatrix},$$

它由 $I_2$ 执行 $R_2\leftarrow R_2-3R_1$ 得到。于是

$$EA= \begin{bmatrix} 1&-2&0\\ 0&10&5 \end{bmatrix}.$$

第一行不变，第二行是 $-3[1,-2,0]+[3,4,5]=[0,10,5]$，与初等矩阵左乘定理完全一致。 这里的 $AE$ 没有定义，因为内维数 $3$ 与 $2$ 不相等。

推论与适用边界

零元素图案也会被加法和标量乘法保留。若同阶下三角矩阵 $A,B$ 满足 $i\lt j$， 则

$$(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=0+0=0, \qquad (cA)_{ij}=ca_{ij}=0.$$

所以它们的和、差与标量倍数仍是下三角矩阵；上三角和对角矩阵也有同样性质。 这里相加的矩阵必须维数相同。加法只比较相同位置的元素，因而这个结论比会 混合整行与整列的乘法封闭性更直接。

“对乘法封闭”不等于“乘法可交换”。考虑两个上三角矩阵

$$P=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad Q=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}.$$

虽然两个乘积仍是上三角矩阵，但

$$PQ=\begin{bmatrix}2&3\\0&3\end{bmatrix}, \qquad QP=\begin{bmatrix}2&2\\0&3\end{bmatrix},$$

所以 $PQ\ne QP$。对角矩阵彼此可交换，却未必与非对角的三角矩阵可交换。

定理也没有说不同三角家族的乘积必然保持三角形状。例如

$$U=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}, \qquad L=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}, \qquad UL=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}.$$

$UL$ 既不是上三角矩阵，也不是下三角矩阵。封闭性要求两个因子属于同一个 三角家族，混合乘积必须按实际元素另行分析。

反复使用乘法封闭性还能得到幂的结论：若 $T$ 是上三角矩阵，则每个正整数幂 $T^r$ 都是上三角矩阵；下三角和对角矩阵同理。这是一个归纳论证，并不表示 其他无关运算会保持同一方向。例如，转置会把上三角形状改成下三角形状， 除非矩阵还有更强的限制。

单位矩阵与初等矩阵的作用

单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似普通乘法中的标量 $1$，但它的阶数必须与 所处的一侧相容。若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则

$$I_mA=A,\qquad AI_n=A.$$

当 $m\ne n$ 时，这两个单位矩阵大小不同。令 $i=j$ 时 $\delta_{ij}=1$， 否则 $\delta_{ij}=0$。于是逐项计算为

$$(I_mA)_{ij}=\sum_{k=1}^{m}\delta_{ik}a_{kj}=a_{ij}, \qquad (AI_n)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\delta_{kj}=a_{ij}.$$

这也解释了单位矩阵为何不断出现在求逆问题中：方阵 $A$ 可逆，当且仅当 存在 $A^{-1}$ 使 $A^{-1}A=AA^{-1}=I_n$。仅有三角形状并不保证可逆； 对角线上含零元素的三角矩阵是奇异矩阵。

每个初等矩阵都可逆，因为定义它的行变换可以由另一次初等行变换撤销。三类 初等矩阵的完整构造、多个初等矩阵的乘积及其逆矩阵，请继续阅读 3.5 初等行变换矩阵。

常见错误

常见错误

把“三角”当成“对角”

每个对角矩阵都同时是上三角矩阵和下三角矩阵。只属于其中一个三角家族的 矩阵可以含有非零的非对角元素，所以逆命题不成立。

常见错误

检查主对角线的错误一侧

上三角矩阵要求 $i\gt j$ 的元素，也就是主对角线下方的元素为零；下三角 矩阵要求 $i\lt j$ 的上方元素为零。

常见错误

以为三角矩阵必然可逆

三角矩阵的对角元素可以为零。三角形状本身不保证可逆；后面的行列式判据会 要求每个对角元素都非零。

常见错误

忽略维数或乘法所在的一侧

若 $A\in\mathbb F^{m\times n}$，正确的恒等式是 $I_mA=A$ 和 $AI_n=A$。同样，左乘初等矩阵执行行变换；右乘在有定义时作用于列，而不是行。

常见错误

把初等矩阵当成任意矩阵

初等矩阵必须由单位矩阵经过恰好一次初等行变换得到。多个初等矩阵的乘积 必然可逆，但未必仍是一个初等矩阵。

从矩阵形状到代数性质

特殊矩阵把可见的零元素图案转化为可复用的代数信息。对角矩阵的非对角元素 全为零，因此同时是上三角矩阵和下三角矩阵。转置会交换两个三角家族。 乘法保留每一个三角家族；对下三角乘积而言，把求和指标分为 $k\le i$ 与 $k\gt i$，便可迫使主对角线上方每一项至少有一个因子为零。

单位矩阵在相容乘法的两侧都不改变原矩阵，其中 $I_m$ 作用于 $m\times n$ 矩阵的行，$I_n$ 作用于它的列。对角矩阵从左、右相乘分别 缩放行和列。初等矩阵则记录一次可逆的行变换；左乘会把这次变换同时作用到 目标矩阵的所有列。

快速检查

思考检查

为什么每个对角矩阵都同时是上三角矩阵和下三角矩阵？

请用“非对角元素”来回答。

解答 · 答案

对角矩阵的所有非对角元素都为零，所以主对角线下方的元素满足上三角条件， 主对角线上方的元素也满足下三角条件。

思考检查

单位矩阵在乘法中有什么作用？

请用一句话回答，并留意单位矩阵的阶数取决于相乘的一侧。

解答 · 答案

它不改变相容的矩阵：若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，则 $I_mA=A$ 且 $AI_n=A$。

练习

思考检查

为什么两个 $3 \times 3$ 下三角矩阵的乘积仍是下三角矩阵？

不需要把所有元素乘出来；请解释主对角线上方的元素为何保持为零。

解答 · 引导解答

对主对角线上方的位置 $(i,j)$，有 $i\lt j$。在 $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}a_{ik}b_{kj}$ 中，若 $k\le i$，则 $k\lt j$，所以 $b_{kj}=0$；若 $k\gt i$，则 $a_{ik}=0$。每个加项都为零， 所以 $AB$ 主对角线上方全部为零。同一论证把 $3$ 换成任意 $n$ 仍然成立。

思考检查

请说明：为什么单位矩阵会同时属于多个矩阵家族？

至少指出两个家族，并根据元素说明理由。

解答 · 引导解答

单位矩阵的所有非对角元素都为零，所以它是对角矩阵，并因此同时是上三角 矩阵和下三角矩阵。又因为 $I_n^T=I_n$，它还是对称矩阵。

相关笔记

若要重温上面使用的转置规则，可先回看 3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵。

接着可以读 3.5 初等行变换矩阵，完整理解初等矩阵的代数。