3.2 矩阵乘法与线性方程组

矩阵乘法是第一种真正让人感觉“和前面不同”的矩阵运算。上一节的加法、减法与数乘，都是逐格进行。矩阵乘法不是。

它的核心做法是：每个输出元素都由

• 左边矩阵的一行，和
• 右边矩阵的一列

配对而成。

正因为如此，矩阵乘法对大小的要求会比上一节更严格。

先有直觉：中间大小一定要匹配

如果 $A$ 是 $m × n$ 矩阵，而 $B$ 是 $n × p$ 矩阵，那么 AB 有定义，而且结果是 $m × p$ 矩阵。

中间那个 n 重复出现，是因为 $A$ 的一行有 n 个元素，而 $B$ 的一列也必须刚好有 n 个元素，这样才能逐项配对、逐项相乘、最后相加。

所以初学时最值得记住的一句话是：

内侧大小要一致。

定义

一个输出元素到底代表什么

初学时最容易被符号绕晕，所以最好把规则慢慢拆开。

如果你要算 $[AB]_{23}$：

1. 先看 $A$ 的第 2 行；
2. 再看 $B$ 的第 3 列；
3. 把对应位置逐项相乘；
4. 最后把所有乘积加起来。

所以，一个输出元素其实浓缩了多次乘法和一次总加法。

嵌入式互动时刻

下面的互动工具可以固定观察一个输出位置，然后改动输入矩阵的元素。这是建立“行乘列”习惯最快的方法之一。

例题

为什么这和线性方程组有关

你早就见过 $Ax = b$ 这个写法。

它不只是节省位置的记号，而是在告诉你：矩阵乘法可以把多条线性方程一次打包。$A$ 的每一行与向量 x 配对，就会产生一条方程。

如果

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

那么

$$Ax = \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \end{bmatrix}.$$

所以 $Ax = b$ 的意思其实就是一个完整方程组，只不过它是用矩阵方式写出来。

这和普通数字乘法很不同。在矩阵乘法里，次序本身就是数学内容的一部分。

常见错误

快速检查

练习

相关笔记

如果你想把 $Ax = b$ 和方程组的矩阵写法再连起来，请先回看 2.2 增广矩阵与行变换。

下一步可以读 3.3 转置、对称矩阵与反对称矩阵。